Câu 1 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

a. Xét bốn tam giác APN, PBM, NMC, MNP. Tìm phép dời hình biến tam giác APN lần lượt thành một trong ba tam giác còn lại.

b. Phép vị tự nào biến tam giác ABC thành tam giác MNP ?

c. Xét tam giác có ba đỉnh là trực tâm của ba tam giác APN, PBM và NCM. Chứng tỏ rằng tam giác đó bằng tam giác APN. Chứng minh điều đó cũng đúng nếu thay trực tâm bằng trọng tâm, hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp hoặc tâm đường tròn nội tiếp. 

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

a. Phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {AP} }}\) biến tam giác APN thành tam giác PBM.

Phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {AN} }}\) biến tam giác APN thành tam giác NMC. Phép đối xứng tâm Đ­J, với J là trung điểm của PN, biến tam giác APN thành tam giác MNP.

b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {GM}  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GN}  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GP}  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {GC} .\)

Vậy phép vị tự tâm G, tỉ số \(k =  - {1 \over 2}\) biến tam giác ABC thành tam giác MNP.

c. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là trực tâm của tam giác APN, PBM, NMC.

Phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {AP} }}\) biến APN thành tam giác PBM nên biến H1 thành H2, tức là \(\overrightarrow {{H_1}{H_2}}  = \overrightarrow {AP} \,hay\,\overrightarrow {A{H_1}}  = \overrightarrow {P{H_2}} .\) Tương tự ta có \(\overrightarrow {{H_1}{H_3}}  = \overrightarrow {AN} \,hay\,\overrightarrow {A{H_1}}  = \overrightarrow {N{H_3}} .\)

Vậy \(\overrightarrow {A{H_1}}  = \overrightarrow {P{H_2}}  = \overrightarrow {N{H_3}} .\) Từ đó suy ra phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {A{H_1}} \) biến tam giác APN thành tam giác H1H2H3.

Đối với các trường hợp khác (trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp), chứng minh hoàn toàn tương tự.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.