Câu 16 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho 

a.  \(\sin 2x = - {1 \over 2}\,\text{ với }\,0 < x < \pi \)

b.  \(\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}\,\text{ với }\, - \pi < x < \pi \)

LG a

\(\sin 2x = - {1 \over 2}\,\text{ với }\,0 < x < \pi \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\sin 2x = - {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over {12}} + k\pi } \cr {x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi } \cr} } \right.\,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)

Với điều kiện \(0 < x < π\) ta có :

*  \(0 < - {\pi \over {12}} + k\pi < \pi \) \(\Leftrightarrow {1 \over {12}} < k < {{13} \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\)

Vì \(k \in Z\) nên \( k = 1\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{11\pi } \over {12}}\)

*  \(0 < {{7\pi } \over {12}} + k\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow - {7 \over {12}} < k < {5 \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\)

Vì \(k \in Z\) nên \(k = 0\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{7\pi } \over {12}}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng \((0 ; π)\) là :

\(x = {{7\pi } \over {12}}\,\text{ và }\,x = {{11\pi } \over {12}}\)

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

LG b

\(\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}\,\text{ với }\, - \pi < x < \pi \)

Lời giải chi tiết:

\(\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2} \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - 5 = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x - 5 = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr} } \right.\)

Ta tìm \(k\) để điều kiện \(–π < x < π\) được thỏa mãn.

Xét họ nghiệm thứ nhất :

\(\eqalign{
& - \pi < {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \cr&\Leftrightarrow - 7\pi - 30 < 12k\pi < 5\pi - 30 \cr 
& \Leftrightarrow - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} \cr 
& \text{Vì }\, - 1,38 < - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k \cr&< {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < - 0,37\,,\,k \in\mathbb Z\,\text{ nên }\, \cr 
& \,\,\,\,\, - 1,38 < k < - 0,37 \cr} \)

Chỉ có một giá trị \(k\) nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là \(k = -1\).

Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là \(x = {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{11\pi } \over 6}\)

Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai :

\( - \pi < - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \)

\(\Leftrightarrow - 5\pi - 30 < 12k\pi < 7\pi - 30\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }} < k < \frac{7}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }}\\
\Rightarrow - 1,2 < k < - 0,2\\
\Rightarrow k = - 1
\end{array}\)

Vậy \(k = -1\)

Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là  \(x = - {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{13\pi } \over 6}\)

Vậy : \(x = 5 - {{11\pi } \over 6}\,\text{ và }\,x = 5 - {{13\pi } \over 6}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.