Cho biểu thức \(A = \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}\). Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A.
Cho biểu thức \(A = \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}\). Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A.
- Tách \({x^2} - 2x + 5\) thành bình phương của một tổng.
- Sử dụng kiến thức: \({a^2} \ge 0\) với mọi a và biến đổi dần đến khi xuất hiện biểu thức A.
- Nếu \(x \le y\) thì \(\frac{1}{x} \ge \frac{1}{y}\)
Ta có \({x^2} - 2x + 5 = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4\).
Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\)
\({\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)
\(\frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4}} \le \frac{1}{4}\)
\(\frac{{16}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4}} \le \frac{{16}}{4}\)
\(\frac{{16}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4}} \le 4\)
Suy ra \(A \le 4\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\) hay \(x = 1\) .
Vậy với \(x = 1\) thì A đạt giá trị lớn nhất là 4.
Các bài tập cùng chuyên đề
Với hai số a, b bất kì, viết \(a - b = a + \left( { - b} \right)\) và áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để tính \({\left( {a - b} \right)^2}\).
Khai triển \({\left( {3x - 2y} \right)^2}\)
Trong trò chơi “Ai thông minh hơn học sinh lớp 8”, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính \({1002^2}\). Chỉ vài giây sau, Nam đã tính ra kết quả chính xác và giành được điểm. Em hãy giải thích xem Nam đã tính nhanh như thế nào.
Tính nhanh: \({49^2}\)
Tính:
a) \({\left( {3a - 1} \right)^2}\)
b) \({\left( {4u - 5v} \right)^2}\)
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:
a) \({a^2} - 12a + 36\);
b) \(25{x^2} + 64{y^2} - 80xy\)
Trong Hình 1.9, diện tích của hình vuông là \(9m - 42m + 49\), với \(m > 3\).
a) Tìm độ dài cạnh hình vuông theo \(m\). Từ đó biểu diễn \(s\)theo \(m\).
b) Tính diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 theo \(m\).
Biểu thức \({x^2} - x + \frac{1}{4}\) được viết dưới dạng bình phương của một hiệu:
A. \({\left( {x-1} \right)^2}\).
B. \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2}\).
C. \({\left( {2x - \frac{1}{2}} \right)^2}\).
D. \({\left( {\frac{1}{2}x - 1} \right)^2}\).
Kết quả của khai triển phép tính \(\left( \frac{1}{2} x - 1\right)^2\) là
Viết biểu thức \(25{x^2} - 20xy + 4{y^2}\) dưới dạng bình phương của một hiệu.
Kết quả của biểu thức \({\left( {x + 2} \right)^2} - 4\left( {x + 2} \right) + 4\) là
Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức \(\frac{{12}}{{12 - 4x - {x^2}}}\).
