Bài 4 trang 105 SGK Hình học 11


Đề bài

Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) tới mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng:

a) H là trực tâm của tam giác \(ABC\);

b) \(\dfrac{1}{OH^{2}}=\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}+\dfrac{1}{OC^{2}}.\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(AB \bot CH;\,\,BC \bot AH\).

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

a) \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mp \((ABC)\) nên \(OH ⊥ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ BC\).

Mặt khác: \(OA ⊥ OB\), \(OA ⊥ OC\)

\(\Rightarrow OA ⊥ (OBC) \Rightarrow OA ⊥ BC\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot OH\\
BC \bot OA\\
OA \cap OH = O
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right)\)

Mà \(AH \subset \left( {OAH} \right)\) \(\Rightarrow BC  ⊥ AH\) (1)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OB \bot OA\\OB \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OB \bot \left( {OAC} \right)\)

Mà \(AC \subset \left( {OAC} \right) \Rightarrow OB \bot AC\)

\(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot AC\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}OB \bot AC\\OH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {OBH} \right)\) \( \Rightarrow AC \bot BH\) (2)

Từ (1) và (2) ta có tam giác \(ABC\) có

\(\left\{ \begin{array}{l}
AH \bot BC\\
BH \bot AC\\
AH \cap BH = H
\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

b) Trong mặt phẳng \((ABC)\) gọi \(E = AH ∩ BC\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
OH \bot \left( {ABC} \right)\\
AE \subset \left( {ABC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot AE\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot \left( {OBC} \right)\\OE \subset \left( {OBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot OE\) \( \Rightarrow \Delta OAE\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}}\) (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông \(OAE\))

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {OAH} \right)\\OE \subset \left( {OAH} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot OE\)

Mà \(OB \bot OC\) nên \(\Delta OBC\) vuông tại \(O\) có \(OE\) là đường cao.

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{E^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\)

Vậy \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}}\)\( = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\) (đpcm).

Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của công thức tính đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông: \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}} .\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 37 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.