Giải bài 1.6 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau:

Đề bài

Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {d_2}\\{a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {d_3}\end{array} \right.\)

a) Giả sử \(({x_0};{y_0};{z_0})\) và \(({x_1};{y_1};{z_1})\) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên.

Chứng minh rằng \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2}} \right)\) cũng là một nghiệm của hệ.

b) Sử dụng kết quả của câu a) chứng minh rằng, nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.

Lời giải chi tiết

a) Xét phương trình thứ nhất: \({a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}\)

Ta có \(({x_0};{y_0};{z_0})\) và \(({x_1};{y_1};{z_1})\) là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Do đó:

\({a_1}{x_0} + {b_1}{y_0} + {c_1}{z_0} = {d_1}\) và \({a_1}{x_1} + {b_1}{y_1} + {c_1}{z_1} = {d_1}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a_1}{x_0} + {b_1}{y_0} + {c_1}{z_1} + {a_1}{x_1} + {b_1}{y_1} + {c_1}{z_1} = 2{d_1}\\ \Leftrightarrow {a_1}({x_0} + {x_1}) + {b_1}({y_0} + {y_1}) + {c_1}({z_0} + {z_1}) = 2{d_1}\\ \Leftrightarrow {a_1}.\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2} + {b_1}.\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2} + {c_1}.\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2} = {d_1}\end{array}\)

Vậy bộ ba số \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2}} \right)\) là nghiệm đúng của pt thứ nhất.

Chứng minh tương tư, ta suy ra bộ ba số này là nghiệm đúng của cả ba phương trình của hệ.

Vậy \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2}} \right)\) cũng là một nghiệm của hệ.

b) Ta kí hiệu \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2}} \right)\) bởi \(({x_2};{y_2};{z_2})\)

Ta có: \(({x_0};{y_0};{z_0})\) và \(({x_2};{y_2};{z_2})\) là hai nghiệm phân biệt của hệ.

\( \Rightarrow \)Áp dụng câu b, ta có: bộ số \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_2}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_2}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_2}}}{2}} \right)\), kí hiệu\(({x_3};{y_3};{z_3})\)cũng là một nghiệm của hệ.

Tương tự ta có: \(({x_4};{y_4};{z_4}) = \left( {\frac{{{x_0} + {x_3}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_3}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_3}}}{2}} \right)\)cũng là một nghiệm của hệ.

Cứ như vậy ta tìm được vô số nghiệm \(({x_n};{y_n};{z_n})\)của hệ đã cho.

Vậy nếu hệ PT bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.3 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 1.5 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ô tô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng.
Giải bài 1.4 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Ba người cùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, còn
Giải bài 1.3 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
Giải bài 1.2 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Giải các hệ phương trình sau:
Giải bài 1.1 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Hệ nào dưới đây là hệ phường trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (2; 0; -1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.
Giải mục 3 trang 12, 13 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức
Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các hệ phương trình trong Ví dụ 3, Ví dụ 4, Ví dụ 5 và Luyện tập 3. Tại một quốc gia, khoảng 400 loài động vật nằm trong danh sách các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng.
Giải mục 2 trang 7, 8, 9, 10, 11 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức
Từ phương trình cuối hãy tính z, sau đó thay vào phương trình thứ hai để tìm y, Giải hệ phương trình Giải các hệ phương trình sau: Hà mua văn phòng phẩm cho nhóm bạn cùng lớp gồm Hà, Lan và Minh
Giải mục 1 trang 6, 7 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức
Xét hệ phương trình với các ẩn là x, y, z sau: Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (-3; 2; -1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.