Cách tìm điểm sao cho tứ giác là hình bình hành trong mặt phẳng toạ độ - Toán 10

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\), \(C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\).

Để ABCD là hình bình hành thì: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - {x_A} = {x_C} - {x_D}\\{y_B} - {y_A} = {y_C} - {y_D}\end{array} \right.\)

Thay toạ độ ba điểm đã biết, ta tìm được toạ độ điểm còn lại.

Lưu ý: Ta có thể giải \(\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \) hoặc \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {CB} \).

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(-1; 3), B(2; -2), C(-4; 5). Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Giải:

Gọi toạ độ của D(x; y). Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = (3; - 5)\), \(\overrightarrow {CD}  = (x + 4;y - 5)\).

Tứ giác ABDC là hình bình hành khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 4 = 3}\\{y - 5 =  - 5}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{y = 0}\end{array}} \right.\)

Vậy toạ độ của D là: D(-1; 0).

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(1; 1),

B(4; 3), C(-1; -2).

a) Tìm toạ độ của vecto AB.

b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (4 - 1;3 - 1)\). Vậy \(\overrightarrow {AB}  = (3;2)\).

b) Gọi toạ độ của điểm \(D\) là \(({x_D};{y_D})\), ta có: \(\overrightarrow {DC}  = ( - 1 - {x_D}; - 2 - {y_D})\).

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:

\(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {DC}  = (3;2) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 - {x_D} = 3}\\{ - 2 - {y_D} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} =  - 4}\\{{y_D} =  - 4}\end{array}} \right.\)

Vậy D(-4; -4).