Cách biến đổi, thu gọn biểu thức đại số có sử dụng phép nhân đa thức - Toán 8

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các luỹ thừa cùng biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau.

Ví dụ: Nhân hai đơn thức \( - 3{x^2}y\) và \(4xy\) ta được: \(( - 3{x^2}y)(4xy) = \left[ {\left( { - 3.4} \right)} \right].({x^2}.x).\left( {y.y} \right) =  - 12.{x^3}.{y^2}\).

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ: Nhân đơn thức \(3{x^2}y\) với đa thức \(2{x^2}y - xy + 3{y^2}\) ta được:

\(\begin{array}{l}3{x^2}y\left( {2{x^2}y - xy + 3{y^2}} \right)\\ = (3{x^2}y).(2{x^2}y) - (3{x^2}y).(xy) + (3{x^2}y).(3{y^2})\\ = 3.2.({x^2}.{x^2})\left( {y.y} \right) - 3.({x^2}.x).\left( {y.y} \right) + 3.3.{x^2}.\left( {y.{y^2}} \right)\\ = 6{x^4}{y^2} - 3{x^3}.{y^2} + 9{x^2}{y^3}\end{array}\)

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

\(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\)

Ví dụ: Nhân hai đa thức \(xy + 1\) và \(xy - 3\) ta được:

\(\begin{array}{l}(xy + 1)(xy - 3)\\ = xy\left( {xy - 3} \right) + 1.\left( {xy - 3} \right)\\ = xy.xy - 3xy + xy - 3\\ = {x^2}{y^2} - 2xy - 3\end{array}\)

Để biến đổi, thu gọn biểu thức đại số có sử dụng phép nhân đa thức, ta kết hợp các phép tính cộng, trừ, nhân đơn thức, đa thức, phép nâng lên luỹ thừa để rút gọn biểu thức có chứa phép nhân đa thức.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức \(A = xy\left( {x - y} \right) + {x^2}\left( {1 - y} \right)\)

Ta có: \(A = xy\left( {x - y} \right) + {x^2}\left( {1 - y} \right)\)

\(\begin{array}{l} = {x^2}y - x{y^2} + {x^2} - {x^2}y\\ = {x^2} - x{y^2}\end{array}\)