Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn - Toán 12 Kết nối t..

Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn Toán 12 Kết nối tri thức

1. Phương sai và độ lệch chuẩn

1. Phương sai và độ lệch chuẩn

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

trong đó các tần số \({m_1} > 0,{m_k} > 0\) và \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s², là một số được tính theo công thức sau:

\[{s^2} = \frac{{m{{({x_1} - \overline x )}^2} + ... + {m_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}}}{n}\]

Trong đó, \(n = {m_1} + ... + {m_k}\); \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) với I = 1,2,…,k là giá trị đại diện cho nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) và \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \).

Ý nghĩa: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán

2. Sử dụng phương sai, độ lệch chuẩn đo độ rủi ro

1) Lợi nhuận của 20 nhà đầu tư quy mô nhỏ ở hai lĩnh vực A và B được cho như sau (lợi nhuận âm được hiểu là lỗ vốn):

Hỏi đầu tư vào lĩnh vực nào “rủi ro” hơn?

Giải:

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có bảng sau:

+ Xét mẫu số liệu lợi nhuận của lĩnh vực A:

Cỡ mẫu là \(n = 1 + 3 + 10 + 4 + 2 = 20\).

Lợi nhuận trung bình của mỗi nhà đầu tư là:

\(\bar x= \frac{1}{{20}}\left[ {2 \cdot \left( { - 0,75} \right) + 3 \cdot \left( { - 0,25} \right) + 7 \cdot 0,25 + 5 \cdot 0,75 + 3 \cdot 1,25} \right] = \frac{7}{{20}} = 0,35\).

Độ lệch chuẩn là:

\({s_A} = \sqrt {\frac{1}{{20}}\left[ {2 \cdot {{\left( { - 0,75} \right)}^2} + 3 \cdot {{\left( { - 0,25} \right)}^2} + 7 \cdot 0,{{25}^2} + 5 \cdot 0,{{75}^2} + 3 \cdot 1,{{25}^2}} \right] - 0,{{35}^2}} = \frac{{\sqrt {34} }}{{10}} \approx 0,58\).

+ Xét mẫu số liệu lợi nhuận của lĩnh vực B:

Cỡ mẫu là \(n = 2 + 3 + 7 + 5 + 3 = 20\).

Lợi nhuận trung bình của mỗi nhà đầu tư là:

\(\bar x= \frac{1}{{20}}\left[ {1 \cdot \left( { - 0,75} \right) + 3 \cdot \left( { - 0,25} \right) + 10 \cdot 0,25 + 4 \cdot 0,75 + 2 \cdot 1,25} \right] = \frac{{13}}{{40}} = 0,325\).

Độ lệch chuẩn là:

\({s_B} = \sqrt {\frac{1}{{20}}\left[ {1 \cdot {{\left( { - 0,75} \right)}^2} + 3 \cdot {{\left( { - 0,25} \right)}^2} + 10 \cdot 0,{{25}^2} + 4 \cdot 0,{{75}^2} + 2 \cdot 1,{{25}^2}} \right] - 0,{{325}^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{20}} \approx 0,11\).

Suy ra \({s_A} > {s_B}\). Vậy đầu tư vào lĩnh vực A “rủi ro” hơn lĩnh vực B.

2) Một nhóm học sinh áp dụng hai thiết bị để đo công suất của một chiếc quạt điện và thu được bảng tần số ghép nhóm sau:

a) Tìm độ lệch chuẩn cho hai mẫu số liệu ghép nhóm về công suất của chiếc quạt điện khi đo theo hai phương pháp trên.

b) Từ kết quả tính được hãy cho biết thiết bị nào có kết quả đo ổn định hơn.

Giải:

a) Chọn giá trị đại diện cho mỗi nhóm, ta có bảng số liệu:

Với mẫu số liệu về kết quả đo dùng thiết bị 1:

Cỡ mẫu là \(n = 1 + 3 + 8 + 5 + 3 = 20\).

Số trung bình là \(\bar x= \frac{1}{{20}}\left( {1 \cdot 72,5 + ... + 3 \cdot 76,5} \right) = 74,8\).

Độ lệch chuẩn là \({s_1} = \sqrt {\frac{1}{{20}}\left( {72,{5^2} + ... + 3 \cdot 76,{5^2}} \right) - 74,{8^2}} \approx 1,05\).

Với mẫu số liệu về kết quả đo dùng thiết bị 1:

Cỡ mẫu là \(n = 3 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20\).

Số trung bình là \(\bar y= \frac{1}{{20}}\left( {3 \cdot 72,5 + ... + 2 \cdot 76,5} \right) = 74,45\).

Độ lệch chuẩn là \({s_2} = \sqrt {\frac{1}{{20}}\left( {3 \cdot 72,{5^2} + ... + 2 \cdot 76,{5^2}} \right) - 74,{{45}^2}} \approx 1,2\).

b) Do \({s_1} < {s_2}\) nên thiết bị 1 cho kết quả ổn định hơn.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải câu hỏi mở đầu trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Để xác định độ ổn định của một máy đo độ ẩm không khí, người ta dùng máy này để đo 20 lần. Nếu độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đo lớn hơn 0,15 thì người ta sẽ đưa máy đo đi sửa chữa. Trong một lần lấy mẫu, kĩ thuật viên có được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
Giải mục 1 trang 80, 81, 82 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Phương sai và độ lệch chuẩn
Giải bài tập 3.4 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Kiểm tra khối lượng của 30 bao xi măng (đơn vị: kg) được chọn ngẫu nhiên trước khi xuất xưởng cho kết quả như sau: a) Thay dấu “?” bằng số thích hợp để hoàn thiện mẫu số liệu ghép nhóm sau. b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?
Giải bài tập 3.5 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tuổi thọ của một số linh kiện điện tử (đơn vị: năm) được sản xuất bởi hai phân xưởng được cho như sau: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về độ phân tán của tuổi thọ các linh kiện điện tử được sản xuất bởi mỗi phân xưởng.
Giải bài tập 3.6 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Một nhóm 20 học sinh dùng một thiết bị đo đường kính của một nhân tế bào cho kết quả như sau: a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên. b) Số trung bình và độ lệch chuẩn cho biết thông tin gì?
Giải bài tập 3.7 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Thời gian chạy tập luyện cự li 100m của hai vận động viên được cho trong bảng sau: Dựa trên độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, hãy cho biết vận động viên nào có thành tích luyện tập ổn định hơn.
Giải bài tập 3.8 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Có nên dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trong mỗi trường hợp sau không? Tại sao? a) Các mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh hai trường trung học phổ thông có chất lượng tương đương. b) Các mẫu số liệu ghép nhóm về doanh thu của 100 cửa hàng bán lẻ và doanh thu của 100 siêu thị.