Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài 4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto - Toán ..

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Cùng khám phá


1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu các vecto và tích của một số với một vecto

1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu các vecto và tích của một số với một vecto

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a  = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b  = (x';y';z')\). Ta có:

+) \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = (x + x';y + y';z + z')\).

+) \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = (x - x';y - y';z - z')\).

+) \(k\overrightarrow a  = (kx;ky;kz)\) với k là một số thực.

Ví dụ: Cho \(\overrightarrow a  = (2; - 1;5),\overrightarrow b  = (0;3; - 3),\overrightarrow c  = (1;4; - 2)\). Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow d  = 2\overrightarrow a  - \frac{1}{5}\overrightarrow b  + 3\overrightarrow c \).

Lời giải:

Ta có: \(2\overrightarrow a  = (4; - 2;10);\frac{1}{5}\overrightarrow b  = \left( {0;3; - 3} \right),3\overrightarrow c  = (3;12; - 6)\).

Do đó \(\overrightarrow d  = \left( {4 - 0 + 3; - 2 - \frac{3}{5} + 12;10 - \left( { - \frac{3}{5}} \right) + ( - 6)} \right)\) hay \(\overrightarrow d  = \left( {7;\frac{{47}}{5};\frac{{23}}{5}} \right)\).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})\). Khi đó:

+) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).

+) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{2}} \right)\).

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho tam giác MNP có M(3;7;2), N(5;1;-1) và P(4;-4;-2). Tìm tọa độ:

a) Trung điểm I của đoạn thẳng MN.

b) Trọng tâm G của tam giác MNP.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm M(3;7;2) và N(5;1;-1), ta có \(I\left( {\frac{{3 + 5}}{2};\frac{{7 + 1}}{2};\frac{{2 - 1}}{2}} \right)\) hay I(4;4;\(\frac{1}{2}\)).

b) Áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm theo tọa độ các đỉnh của tam giác MNP, ta có \(G(\frac{{3 + 5 + 4}}{3};\frac{{7 + 1 - 4}}{3};\frac{{2 - 1 - 2}}{3})\) hay \(G(4;\frac{4}{3}; - \frac{1}{3})\).

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vecto

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a  = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b  = (x';y';z')\) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = xx' + yy' + zz'\).

Nhận xét: Từ công thức tính tích vô hướng hai vecto theo tọa độ, ta suy ra:

+) Nếu \(\overrightarrow a  = (x;y;z)\) thì \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \)

+) Nếu \(A({x_A};{y_A};{z_A});B({x_B};{y_B};{z_B})\) thì khoảng cách giữa hai điểm A, B là:

\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} \)

+) Nếu hai vecto \(\overrightarrow a  = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow b  = ({x_2};{y_2};{z_2})\) khác \(\overrightarrow 0 \) thì:

\(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2} .\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2} }}\)

\(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2} = 0\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải mục 1 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})\). a) Hãy biểu diễn các vectơ \(\vec a\), \(\vec b\) theo ba vectơ đơn vị \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\). b) Tính \(\vec a + \vec b\) theo \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\), từ đó tìm tọa độ của vectơ \(\vec a + \vec b\).

  • Giải mục 2 trang 76, 77, 78, 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec a = ({x_1},{y_1},{z_1})\) và \(\vec b = ({x_2},{y_2},{z_2})\). a) Biểu diễn \(\vec a\) và \(\vec b\) qua các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\). b) Tính \(\vec a \cdot \vec b\).

  • Giải bài tập 2.17 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\vec a = (2; - 3;3)\), \(\vec b = (4;0;2)\), \(\vec c = ( - 1;4; - 5)\). Tìm: a) \(\vec a.(\vec b + 2\vec c)\); b) \(\left| {\vec a - \vec b} \right|\).

  • Giải bài tập 2.18 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Biết tọa độ các đỉnh là \(A(0;1;1)\), \(B(0;1;2)\), \(C( - 1;1;1)\). a) Tính độ dài các cạnh của tam giác. b) Tính \(\widehat {ABC}\).

  • Giải bài tập 2.19 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Trong không gian Oxyz, cho hình tứ diện ABCD. Biết rằng \(A(1;0; - 1)\), \(B( - 3;2;0)\), \(C(1;1;4)\), \(D( - 2;1;5)\). a) Tìm tọa độ của điểm E sao cho \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \). b) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh AB và trọng tâm G của tam giác ABC.

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store