Giải mục 2 trang 22, 23 SGK Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ5

Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 \({m^2}\), hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích \(S(x) =  - 2{x^2} + 20x\) với 48

Lời giải chi tiết:

Để diện tích của mảnh vườn không nhỏ hơn 48 \({m^2}\)thì

\(S(x) \ge 48 \Rightarrow  - 2{x^2} + 20x \ge 48 \Leftrightarrow  - 2{x^2} + 20x - 48 \ge 0\)

Luyện tập 3

Giải các bất phương trình sau:

a) \( - 5{x^2} + x - 1 \le 0\)

b) \({x^2} - 8x + 16 \le 0\)

c) \({x^2} - x + 6 > 0\)

Phương pháp giải:

Để giải bất phương trình bậc hai, ta cần xét dấu tam thức \(f(x) = a{x^2} + bx + x(a \ne 0)\)

từ đó suy ra tập nghiệm.

Xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)

Bước 1: Tính \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

Bước 2:

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với a với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

-  Nếu \(\Delta  = 0\) thì \(f(x)\)có nghiệm kép là  \({x_0}\) . Vậy \(f(x)\)cùng dấu với a với \(x \ne {x_0}\)

-  Nếu \(\Delta  > 0\) thì \(f(x)\)có 2 nghiệm là \({x_1};{x_2}\)\(({x_1} < {x_2})\). Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết:

a) Tam thức \(f(x) =  - 5{x^2} + x - 1\) có \(\Delta  =  - 19 < 0\), hệ số \(a =  - 5 < 0\) nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x, tức là \(\)\( - 5{x^2} + x - 1 < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm

b) Tam thức \(g(x) = {x^2} - 8x + 16\) có \(\Delta  = 0\), hệ số a=1>0 nên g(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi \(x \ne 4\), tức là \({x^2} - 8x + 16 > 0\) với mọi \(x \ne 4\)

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất là x=4

c) Tam thức \(h(x) = {x^2} - x + 6\) có \(\Delta  =  - 2 < 0\), hệ số a=1>0 nên h(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là \({x^2} - x + 6 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm

Vận dụng

Độ cao so với mặt đất của một quá bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai \(h(t) =  - 4,9{t^2} + 20t + 1\), ở độ cao \(h(t)\)tính bằng mét và thời gian t tình bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất.

Phương pháp giải:

Tìm khoảng thời gian t để \(h(t) > 5\), bài toán đưa về xét dấu tam thức \(f(t) = h(t) - 5\)

Các bước xét dấu tam thức bậc hai \(f(t) = a{t^2} + bt + c\)

Bước 1: Tính \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

Bước 2:

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì \(f(t)\) luôn cùng dấu với a với mọi \(t \in \mathbb{R}\)

-  Nếu \(\Delta  = 0\) thì \(f(t)\)có nghiệm kép là  \({t_0}\) . Vậy \(f(t)\)cùng dấu với a với \(t \ne {t_0}\)

-  Nếu \(\Delta  > 0\) thì \(f(t)\)có 2 nghiệm là \({t_1};{t_2}\)\(({t_1} < {t_2})\). Ta lập bảng xét dấu.

Kết luận khoảng chứa t thỏa mãn \(f(t) > 0\)

Lời giải chi tiết:

Để quả bóng ở độ cao trên 5m so với mặt đất thì:

\(\begin{array}{l}h(t) > 5\\ \Rightarrow  - 4,9{t^2} + 20t + 1 > 5\\ \Rightarrow  - 4,9{t^2} + 20t - 4 > 0\end{array}\)

Đặt \(f(t) =  - 4,9{t^2} + 20t - 4\)có \(\Delta ' = b{'^2} - ac = {10^2} - ( - 4,9).( - 4) = 80,4 > 0\)nên \(f(t)\)có 2 nghiệm: \(\begin{array}{l}{t_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 10 + \sqrt {80,4} }}{{ - 4,9}} = \frac{{10 - \sqrt {80,4} }}{{4,9}}\\{t_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 10 - \sqrt {80,4} }}{{ - 4,9}} = \frac{{10 + \sqrt {80,4} }}{{4,9}}\end{array}\)

Mặt khác \(a =  - 4,9 < 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau

Do đó để \(h(t) > 5\)thì \(t \in \left( {\frac{{10 - \sqrt {80,4} }}{{4,9}};\frac{{10 + \sqrt {80,4} }}{{4,9}}} \right)\)

Vậy để quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất thì \(t \in \left( {\frac{{10 - \sqrt {80,4} }}{{4,9}};\frac{{10 + \sqrt {80,4} }}{{4,9}}} \right)\)