Giải bài tập 5.32 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây: a) Có tâm \(I( - 4;0;5)\) và bán kính \(r = \sqrt 6 \); b) Đi qua điểm \(A(5; - 2; - 1)\) và có tâm \(C(2;1;5)\); c) Có đường kính AB với \(A( - 4;3;7)\) và \(B(2;1; - 3)\).

Đề bài

Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây:

a) Có tâm \(I( - 4;0;5)\) và bán kính \(r = \sqrt 6 \);

b) Đi qua điểm \(A(5; - 2; - 1)\) và có tâm \(C(2;1;5)\);

c) Có đường kính AB với \(A( - 4;3;7)\) và \(B(2;1; - 3)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1. Phương trình mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\):

\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)

2. Xác định bán kính:

- Sử dụng độ dài bán kính \(r\) nếu đã cho.

- Nếu biết một điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1})\) nằm trên mặt cầu và tâm \(C\), tính \(R\) bằng cách:

\(R = \sqrt {{{({x_1} - a)}^2} + {{({y_1} - b)}^2} + {{({z_1} - c)}^2}} \)

- Nếu biết đường kính AB, tính bán kính bằng cách:

\(R = \frac{1}{2} \cdot AB\)

Lời giải chi tiết

a) Tâm \(I( - 4;0;5)\) và bán kính \(r = \sqrt 6 \). Phương trình mặt cầu là:

\({(x + 4)^2} + {y^2} + {(z - 5)^2} = 6\)

b) Đi qua điểm \(A(5; - 2; - 1)\) và có tâm \(C(2;1;5)\). - Tính bán kính \(R = CA\):

\(R = \sqrt {{{(5 - 2)}^2} + {{( - 2 - 1)}^2} + {{( - 1 - 5)}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {9 + 9 + 36} = \sqrt {54} = 3\sqrt 6 \)

- Phương trình mặt cầu là:

\({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 5)^2} = 54\)

c) Có đường kính AB với \(A( - 4;3;7)\) và \(B(2;1; - 3)\).

- Tọa độ tâm \(I\) là trung điểm của AB:

\(I = \left( {\frac{{ - 4 + 2}}{2},\frac{{3 + 1}}{2},\frac{{7 - 3}}{2}} \right) = ( - 1,2,2)\)

- Bán kính \(R = \frac{1}{2}AB\):

\(AB = \sqrt {{{(2 + 4)}^2} + {{(1 - 3)}^2} + {{( - 3 - 7)}^2}} = \sqrt {{6^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 10)}^2}} = \sqrt {36 + 4 + 100} = \sqrt {140} = 2\sqrt {35} \)

\(R = \frac{{2\sqrt {35} }}{2} = \sqrt {35} \)

- Phương trình mặt cầu là:

\({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 2)^2} = 35\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 5.33 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Bạn Bình đố bạn Nam tìm được đường kính của quả bóng rổ, biết rằng nếu đặt quả bóng ở một góc căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm (tiếp xúc) với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó (khoảng cách từ tâm quả bóng đến hai bức tường và nền nhà đều bằng bán kính của quả bóng) thì có một điểm M trên quả bóng với khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm và 21 cm (Hình 5.38). Hãy giúp Nam xác định đường kính của quả bóng rổ. Biết rằng loại bóng rổ tiêu chuẩn
Giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây: a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\) b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\) c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\) d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)
Giải mục 2 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(x;y;z)\), mặt cầu S có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(r\).
Giải mục 1 trang 72, 73 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho nửa đường tròn tâm I bán kính r quay quanh đường kính AB cố định của nó, ta nhận được một mặt cầu (S) tâm I bán kính r. Xét một điểm M thuộc (S) (Hình 5.32). Hãy so sánh IM và r.
Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Cùng khám phá
1. Định nghĩa mặt cầu