Giải bài tập 4.4 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức


Tìm: a) (int {left( {2cos x - frac{3}{{{{sin }^2}x}}} right)} dx); b) (int {4{{sin }^2}frac{x}{2}} dx); c) (int {{{left( {sin frac{x}{2} - cos frac{x}{2}} right)}^2}} dx); d) (int {left( {x + {{tan }^2}x} right)} dx).

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

Đề bài

 

 

Tìm:

a) \(\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\);

b) \(\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx\);

c) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx\);

d) \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx\).

 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} \)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \), \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:

\(\int {\cos x} dx = \sin x + C,\int {\sin x} dx =  - \cos x + C,\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x + C,\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx =  - \cot x + C\)

Lời giải chi tiết

a) \(\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx = 2\int {\cos x} dx - 3\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = 2\sin x + 3\cot x + C\)

b) Từ công thức nhân đôi \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\), áp dụng vào bài ta có:

\(\cos x = 1 - 2{\sin ^2}\frac{x}{2} \Leftrightarrow 2{\sin ^2}\frac{x}{2} = 1 - \cos x \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\frac{x}{2} = 2(1 - \cos x)\)

Từ đó suy ra:

\(\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx = \int {2\left( {1 - \cos x} \right)} dx = 2\int {dx - 2\int {\cos x} dx = 2x - 2\sin x + C} \)

c) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}} \right)} dx = \int {\left( {1 - \sin x} \right)} dx\)

\( = \int {dx}  - \int {\sin x} dx = x + \cos x + C\)

d) \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx = \int {xdx}  + \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx}  = \frac{{{x^2}}}{2} + \tan x - x + C\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí