Toán 12 Kết nối tri thức | Giải toán lớp 12 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 1 - Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài tập 1.43 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức


Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 12); b) (y = frac{{2x - 1}}{{x + 1}}); c) (y = frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}}).

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 12\);
b) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên

Lời giải chi tiết

a) 1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y' = - 3{x^2} + 12x - 9,y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 12x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến. Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 3\), giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = 8\)

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 12} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{6}{x} - \frac{9}{{{x^2}}} + \frac{{12}}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 12} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{6}{x} - \frac{9}{{{x^2}}} + \frac{{12}}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 12\) với trục tung là (0; 12).

Đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 12\) đi qua các điểm (1; 8); (3; 12); (4; 8).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (2; 10).

b) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

2. Sự biến thiên:

\(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne - 1\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = - \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = - 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 2\) làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0; - 1} \right)\).

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

 

c) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = x - 1 - \frac{1}{{x - 1}}\)

\(y' = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\;\forall x \ne 1\)

Do đó, hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - 1 - \frac{1}{{x - 1}} - \left( {x - 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } - \frac{1}{{x - 1}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - 1 - \frac{1}{{x - 1}} - \left( {x - 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } - \frac{1}{{x - 1}} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = x - 1\) làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 0).

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\)

Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm (0; 0) và (2; 0)

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài tập 1.44 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}\). a) Viết công thức tính \(q = g\left( p \right)\) như một hàm số của biến \(p \in \left( {f; + \infty } \right)\). b) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g\left( p \right),\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này. Lập bảng bi

  • Giải bài tập 1.45 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: \(N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\) (N(t) được tính bằng triệu người, \(0 \le t \le 50\)). a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba). b) Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Xét chiều biến thiên của hàm số N(t) trên đoạn [0; 50]. c) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quố

  • Giải bài tập 1.46 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

  • Giải bài tập 1.42 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau: a) \(y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\); b) \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}}\).

  • Giải bài tập 1.41 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{3x - 2}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right)\); b) \(y = \sqrt {2 - {x^2}} \);

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store