Giải bài 6.40 trang 77 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho \(\Delta ABC\) có \(AD\) là đường trung tuyến. Một đường thẳng \(d\) song song với \(BC\) cắt \(AB,AC\) và \(AD\) lần lượt tại \(M,N\) và \(O\) .

a) Chứng minh rằng \(O\) là trung điểm của \(MN.\)

b) Cho tỉ số của diện tích \(\Delta AMN\) và \(\Delta ABC\) là \(\frac{4}{9}\) . Chứng minh rằng \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\) 

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(AMO\) , ta có:

 \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AO}}{{AD}}\) (do \(MO//BD\) áp dụng định lí Thales)

 \(\widehat A\) là góc chung

=> \(\Delta ABD\) ∽ \(\Delta AMO\) (cạnh-góc-cạnh)

Ta có tỉ số đồng dạng:

 \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AO}}{{AD}} = \frac{{MO}}{{BD}}\) (1)

Chứng minh tương tự với tam giác \(ANO\) và tam giác \(ACD\) , ta được:

 \(\Delta ANO\) ∽ \(\Delta ACD\) (cạnh-góc-cạnh)

 \(\frac{{AO}}{{AD}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{ON}}{{DC}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

 \(\frac{{MO}}{{BD}} = \frac{{NO}}{{CD}} = \frac{{AO}}{{AD}}\)

Mà \(BD = CD\) (do \(D\) là trung điểm)

=> \(MO = NO\)

=> O là trung điểm của \(MN\) .

b)

Kẻ đường cao \(AE\) cắt \(MN\) tại \(F\) và cắt \(BC\) tại \(E\) .

Ta có \(\Delta AMN\) ∽ \(\Delta ABC\)

=> \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{AE}}\)

Diện tích tam giác \(AMN\) là: \(\frac{1}{2}AF.MN\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(\frac{1}{2}AE.BC\)

Ta có tỉ số diện tích: \(\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AF.MN}}{{\frac{1}{2}AE.BC}} = \frac{4}{9}\)

\(\frac{{AF.MN}}{{AE.BC}} = \frac{4}{9}\)

Mà \(\frac{{AF}}{{AE}} = \frac{{MN}}{{BC}}\)

=>

 \(\begin{array}{l}\frac{{AF.MN}}{{AE.BC}} = \frac{4}{9}\\ \frac{{2AF}}{{2AE}} = \frac{4}{9}\\ \Rightarrow \frac{{AF}}{{AE}} = \frac{2}{3}\end{array}\)

=> \(\frac{{AO}}{{AD}} = \frac{2}{3}\)

Vậy \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)