Giải bài 6 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Chứng minh các đẳng thức sau: a) \({\sin ^2}{605^0} + {\sin ^2}{1645^0} + {\cot ^2}{25^0} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{{65}^0}}}\); b) \(\frac{{\sin {{530}^0}}}{{1 + \sin {{640}^0}}} = \frac{1}{{\sin {{10}^0}}} + \cot {10^0}\)

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \({\sin ^2}{605^0} + {\sin ^2}{1645^0} + {\cot ^2}{25^0} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{{65}^0}}}\);

b) \(\frac{{\sin {{530}^0}}}{{1 + \sin {{640}^0}}} = \frac{1}{{\sin {{10}^0}}} + \cot {10^0}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt:

a) \(\sin \left( {{{360}^0} + \alpha } \right) = \sin \alpha \), \(\sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \alpha \), \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \), \(\sin \left( {{{180}^0} + \alpha } \right) = - \sin \alpha \), \(\)\(\cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \tan \alpha \)

b) \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \), \(\sin \left( {{{360}^0} + \alpha } \right) = \sin \alpha \), \(\sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \cos \alpha \)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\sin {605^0} \) \(= \sin \left( {{{2.360}^0} - {{115}^0}} \right) \) \(= \sin \left( { - {{115}^0}} \right) \) \(= - \sin \left( {{{180}^0} - {{65}^0}} \right) \) \(= - \sin {65^0}\)

\(\sin {1645^0} \) \(= \sin \left( {{{4.360}^0} + {{180}^0} + {{25}^0}} \right) \) \(= - \sin {25^0} \) \(= - \sin \left( {{{90}^0} - {{65}^0}} \right) \) \(= - \cos {65^0}\)

\(\cot {25^0} \) \(= \cot \left( {{{90}^0} - {{65}^0}} \right) \) \(= \tan {65^0}\)

Do đó, \({\sin ^2}{605^0} + {\sin ^2}{1645^0} + {\cot ^2}{25^0} \) \(= {\sin ^2}{65^0} + {\cos ^2}{65^0} + {\tan ^2}{65^0}\)

\( \) \(= 1 + {\tan ^2}{65^0} \) \(= \frac{1}{{{{\cos }^2}{{65}^0}}}\)

b) Ta có: \(\sin {530^0} \) \(= \sin \left( {{{3.180}^0} - {{10}^0}} \right) \) \(= \sin {10^0}\),

\(\sin {640^0} \) \(= \sin \left( {{{4.180}^0} - {{80}^0}} \right) \) \(= - \sin {80^0} \) \(= - \sin \left( {{{90}^0} - {{10}^0}} \right) \) \(= - \cos {10^0}\)

Do đó, \(\frac{{\sin {{530}^0}}}{{1 + \sin {{640}^0}}} \) \(= \frac{{\sin {{10}^0}}}{{1 - \cos {{10}^0}}} \) \(= \frac{{{{\sin }^2}{{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)}}\)

\( \) \(= \frac{{1 - {{\cos }^2}{{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)}} \) \(= \frac{{\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)\left( {1 + \cos {{10}^0}} \right)}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)}} \) \(= \frac{{1 + \cos {{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}}} \) \(= \frac{1}{{\sin {{10}^0}}} + \cot {10^0}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 7 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Rút gọn các biểu thức sau: a) \(\cos \left( {\alpha + \pi } \right) + \sin \left( {\alpha + \frac{{5\pi }}{2}} \right) - \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)\tan \left( {\pi - \alpha } \right)\).
Giải bài 8 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tính giá trị của các biểu thức sau: a) \(\sin {17^0}\sin {197^0} + \sin {73^0}\cos {163^0}\); b) \(\frac{1}{{1 - \tan {{145}^0}}} + \frac{1}{{1 + \tan {{55}^0}}}\).
Giải bài 9 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
a) Cho \(\tan \alpha + \cot \alpha = 2\). Tính giá của trị biểu thức \({\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \). b) Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{4}\). Tính giá của trị biểu thức \(\sin \alpha .\cos \alpha \). c) Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}\). Tính giá của trị biểu thức \({\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \).
Giải bài 10 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho \(\tan x = 2\). Tính giá trị của các biểu thức sau: a) \(\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{5\sin x + 2\cos x}}\); b) \(\frac{{{{\sin }^3}x + 2{{\cos }^3}x}}{{2\sin x + 3\cos x}}\).
Giải bài 11 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Độ dài của ngày từ lúc Mặt Trời mọc đến lúc Mặt Trời lặn ở một thành phố X trong ngày thứ t của năm được tính xấp xỉ bởi công thức
Giải bài 5 trang 14 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\); b) \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\);
Giải bài 4 trang 14 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Biết \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính giá trị của các biểu thức sau:
Giải bài 3 trang 14 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau: a) \(\cos \left( {\alpha + \pi } \right)\); b) \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\); c) \(\tan \left( {\alpha + \frac{{3\pi }}{2}} \right)\); d) \(\cot \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)\); e) \(\cos \left( {2\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)\); g) \(\sin \left( {\pi - 2\alpha } \right)\).
Giải bài 2 trang 14 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến \(\frac{\pi }{4}\) (hoặc từ \({0^0}\) đến \({45^0}\)):
Giải bài 1 trang 14 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), nếu: a) \(\sin \alpha = - \frac{4}{5}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\); b) \(\cos \alpha = \frac{{11}}{{61}}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\); c) \(\tan \alpha = - \frac{{15}}{8}\) và \( - {90^0} < \alpha < {90^0}\); d) \(\cot \alpha = - 2,4\) và \( - {180^0} < \alpha < {0^0}\).