SBT Toán 9 - giải SBT Toán 9 - Kết nối tri thức với cuộc sống Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vu..

Giải bài 4.20 trang 48, 49 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1


Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng (frac{1}{{A{H^2}}} = frac{1}{{A{B^2}}} + frac{1}{{A{C^2}}}). (HD: ta có (sin B = frac{{AH}}{{AB}},sin C = frac{{AH}}{{AC}},cos B = sin C) và áp dụng công thức ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) với mọi góc nhọn (alpha )).

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).

(HD: ta có \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}},\sin C = \frac{{AH}}{{AC}},\cos B = \sin C\) và áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) với mọi góc nhọn \(\alpha \)).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tam giác ABH vuông tại H nên \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\) suy ra \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}}\).

+ Tam giác AHC vuông tại H nên \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(\frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}}\)

+ Vì B và C là hai góc phụ nhau nên \(\cos B = \sin C\), suy ra \({\cos ^2}B = {\sin ^2}C\).

+ \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}} + \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{{{{\cos }^2}B + {{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\)

Lời giải chi tiết

Tam giác ABH vuông tại H nên \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\),

do đó, \(\frac{1}{{AB}} = \frac{{\sin B}}{{AH}}\),

suy ra \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}}\).

Tam giác AHC vuông tại H nên \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\),

do đó \(\frac{1}{{AC}} = \frac{{\sin C}}{{AH}}\),

suy ra \(\frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}}\).

Vì B và C là hai góc phụ nhau nên \(\cos B = \sin C\), suy ra \({\cos ^2}B = {\sin ^2}C\).

Ta có:

\(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}} + \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{{{{\cos }^2}B + {{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua