SBT Toán 9 - giải SBT Toán 9 - Kết nối tri thức với cuộc sống Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vu..

Giải bài 4.20 trang 48, 49 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1


Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng (frac{1}{{A{H^2}}} = frac{1}{{A{B^2}}} + frac{1}{{A{C^2}}}). (HD: ta có (sin B = frac{{AH}}{{AB}},sin C = frac{{AH}}{{AC}},cos B = sin C) và áp dụng công thức ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) với mọi góc nhọn (alpha )).

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).

(HD: ta có \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}},\sin C = \frac{{AH}}{{AC}},\cos B = \sin C\) và áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) với mọi góc nhọn \(\alpha \)).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tam giác ABH vuông tại H nên \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\) suy ra \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}}\).

+ Tam giác AHC vuông tại H nên \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(\frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}}\)

+ Vì B và C là hai góc phụ nhau nên \(\cos B = \sin C\), suy ra \({\cos ^2}B = {\sin ^2}C\).

+ \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}} + \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{{{{\cos }^2}B + {{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\)

Lời giải chi tiết

Tam giác ABH vuông tại H nên \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\),

do đó, \(\frac{1}{{AB}} = \frac{{\sin B}}{{AH}}\),

suy ra \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}}\).

Tam giác AHC vuông tại H nên \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\),

do đó \(\frac{1}{{AC}} = \frac{{\sin C}}{{AH}}\),

suy ra \(\frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}}\).

Vì B và C là hai góc phụ nhau nên \(\cos B = \sin C\), suy ra \({\cos ^2}B = {\sin ^2}C\).

Ta có:

\(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}} + \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{{{{\cos }^2}B + {{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\)


Bình chọn:
3.9 trên 8 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store