

Giải bài 2.9 trang 43 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức>
Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ với dung tích (5{rm{ }}l). Giá sản xuất mặt xung quanh là 100 nghìn đồng/m2, giá sản xuất mặt đáy là 120 nghìn đồng/m2. Hỏi công ty có thể sản xuất được tối đa bao nhiêu thùng sơn? (Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể)
Đề bài
Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ với dung tích \(5{\rm{ }}l\). Giá sản xuất mặt xung quanh là 100 nghìn đồng/m2, giá sản xuất mặt đáy là 120 nghìn đồng/m2. Hỏi công ty có thể sản xuất được tối đa bao nhiêu thùng sơn (giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể)?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.
Lời giải chi tiết
Đổi: 5 lít = 5 \(d{m^3}\) = 0,005 \({m^3}\).
Gọi r (m) là bán kính của đáy thùng đựng sơn hình trụ, r > 0.
h (m) là chiều cao thùng sơn hình trụ, h > 0.
Ta có \({V_{tru}} = \pi {r^2}h \Leftrightarrow 0,005 = \pi {r^2}h \Leftrightarrow h = \frac{{0,005}}{{\pi {r^2}}}\) (m).
Diện tích xung quanh thùng sơn là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi r.\frac{{0,005}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{0,01}}{r}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).
Diện tích đáy thùng sơn là: \({S_{day}} = \pi {r^2}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).
Giá sản xuất mặt xung quanh của một thùng sơn là:
\(100{S_{xq}} = 100.\frac{{0,01}}{r} = \frac{1}{r}\) (nghìn đồng).
Giá sản xuất mặt hai mặt đáy của một thùng sơn là:
\(120.2.\pi {r^2} = 240\pi {r^2}\) (nghìn đồng).
Chi phí sản xuất một thùng sơn là:
\(C(r) = \frac{1}{r} + 240\pi {r^2}\) (nghìn đồng).
Xét \(C'(r) = - \frac{1}{{{r^2}}} + 480\pi r = 0 \Leftrightarrow 480\pi r = \frac{1}{{{r^2}}} \Leftrightarrow 480\pi {r^3} = 1 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{1}{{480\pi }}}}\).
Bảng biến thiên của hàm số C(r) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\):
Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của C(r) là xấp xỉ 17,20105 nghìn đồng.
Ta có \(\frac{{1000000}}{{17,20105}} \approx 58135,98533\).
Vậy công ty có thể sản xuất được tối đa 58135 thùng sơn.


- Giải bài 2.10 trang 43 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 2.8 trang 43 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 2.7 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải mục 2 trang 39, 40, 41, 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay
Các bài khác cùng chuyên mục
- Giải bài 3.24 trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 3.23 trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 3.22 trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 3.21 trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 3.20 trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 3.24 trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 3.23 trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 3.22 trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 3.21 trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 3.20 trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức