Giải bài 25 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với \(R \ne r\). Đường nối OO' lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O') tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh: a) \(\widehat {DME} = 90^\circ \) b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O') c) MD. MB=ME. MC

Đề bài

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với \(R \ne r\). Đường nối OO' lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O') tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:

a) \(\widehat {DME} = 90^\circ \)

b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O')

c) MD. MB = ME. MC

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Bước 1: Chứng minh \(\widehat {BOD} = \widehat {AO'E}\).

Bước 2: Chứng minh \(\widehat B = \widehat {EAO'} = \frac{{180^\circ - \widehat {EO'A}}}{2}\).

Bước 3: Chứng minh \(\widehat C + \widehat B = 90^\circ \).

b) Bước 1: Chứng minh \(IA = ID\).

Bước 2: Chứng minh \(\Delta OAI = \Delta ODI\).

c) Chứng minh tam giác BCM đồng dạng với tam giác EDM.

Lời giải chi tiết

a) Ta có DE tiếp xúc với (O) và (O’) nên \(DO \bot DE,EO' \bot DE\), do đó \(DO//EO'\),

Suy ra \(\widehat {BOD} = \widehat {AO'E}\) (2 góc so le trong). (1)

Do \(BO = DO\left( { = R} \right)\) nên tam giác BOD cân tại O, do đó \(\widehat B = \frac{{180^\circ - \widehat {BOD}}}{2}\). (2)

Do \(AO' = EO'\left( { = r} \right)\) nên tam giác AO’E cân tại O’, do đó \(\widehat {EAO'} = \frac{{180^\circ - \widehat {EO'A}}}{2}\). (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat B = \widehat {EAO'}\). (4)

Xét tam giác EAC có nên tam giác EAC vuông tại E, do đó \(\widehat C + \widehat {EAO'} = 90^\circ \) (5)

Từ (4) và (5) suy ra \(\widehat C + \widehat B = 90^\circ \).

Xét tam giác MBC có \(\widehat C + \widehat B + \widehat {BMC} = 180^\circ \) hay \(90^\circ + \widehat {BMC} = 180^\circ \). Vậy \(\widehat {BMC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DME} = 90^\circ \).

b) Xét tam giác BDA có \(OB = OA = OD = \frac{{AB}}{2}\) nên tam giác BDA vuông tại D hay \(\widehat {BDA} = 90^\circ \), do đó \(\widehat {ADM} = 90^\circ \).

Xét tam giác AEC có \(O'E = O'A = O'C = \frac{{AC}}{2}\) nên tam giác AEC vuông tại E

hay \(\widehat {AEC} = 90^\circ \), do đó \(\widehat {AEM} = 90^\circ \).

Xét tứ giác DMEA có \(\widehat {ADM} = \widehat {DME} = \widehat {MEA} = 90^\circ \) suy ra DMEA là hình chữ nhật,

nên \(IA = ID\).

Xét 2 tam giác OAI và ODI có:

OI chung; \(OD = OA\left( { = R} \right)\); \(IA = ID\)

Suy ra \(\Delta OAI = \Delta ODI\) (c.c.c), do đó \(\widehat {OAI} = \widehat {ODI} = 90^\circ \) hay MA vuông góc với BD tại A.

Vậy MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O').

c) Do MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) nên MA là tiếp tuyến của (O) hay \(\widehat {BAM} = \widehat {IAD} + \widehat {DAB} = 90^\circ \).

Ta lại có: tam giác ADB cân tại D nên \(\widehat B + \widehat {DAB} = 90^\circ \), do đó \(\widehat B = \widehat {IAD}\).

Mặt khác \(\widehat {MED} = \widehat {IAD}\) (DMEA là hình chữ nhật), do đó \(\widehat {MED} = \widehat B\).

Xét 2 tam giác BCM và EDM có:

\(\widehat {MED} = \widehat B\);

\(\widehat {BMC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta BCM\backsim \Delta EDM\) (g.g), nên \(\frac{{MD}}{{EM}} = \frac{{MC}}{{MD}}\) hay \(MD.MB = ME.MC\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 26 trang 110 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hình chiếu của H trên AB, AC lần lượt là D, E. Gọi (O) là đường tròn đường kính HB và (O') là đường tròn đường kính HC. Chứng minh: a) Điểm D thuộc đường tròn (O) và điểm E thuộc đường tròn (O’); b) Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài; c) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’); d) AH = DE; e) Diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.
Giải bài 24 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyển thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC và H là giao điểm của MN và AB (Hình 24).
Giải bài 23 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Hình 23 minh họa thước phân giác. Thước gồm hai thanh gỗ ghép lại thành góc vuông BAC và một tấm gỗ có dạng hình tam giác ACD với AD là tia phân giác của góc BAC. Có thể dùng thước phân giác để tìm tâm của một hình tròn hay không? Vì sao?
Giải bài 22 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm trên đường tròn. Lấy điểm B sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng OB. Kẻ hai tiếp tuyến BM, BN của đường tròn (O). a) Tính số đo góc MBN và độ dài đoạn thẳng BM theo R. b) Tứ giác AMON là hình gì ? Vì sao? c) Tính độ dài đoạn thẳng OH theo R với H là giao điểm của OA và MN.
Giải bài 21 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC, sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Lấy điểm M sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng OM. Chứng minh a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) \(MC = R\sqrt 3 \).
Giải bài 20 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính. Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB. Vẽ đường tròn (C; CI). Kẻ tiếp tuyến BD của đường tròn (C) với D là tiếp điểm và D khác I. Chứng minh: a) Bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên một đường tròn. b) BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Giải bài 19 trang 108 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn tâm O bán kính 15cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho \(OA = 25\)cm. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H. a) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.