Giải bài 20 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính. Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB. Vẽ đường tròn (C; CI). Kẻ tiếp tuyến BD của đường tròn (C) với D là tiếp điểm và D khác I. Chứng minh: a) Bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên một đường tròn. b) BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Đề bài

Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính. Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I

của đoạn thẳng AB. Vẽ đường tròn (C; CI). Kẻ tiếp tuyến BD của đường tròn (C) với D là tiếp điểm và D khác I. Chứng minh:

a) Bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên một đường tròn.

b) BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Gọi M là trung điểm của BC.

Áp dụng: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1 nửa cạnh huyền (tam giác IBC và DBC) để suy ra \(MB = MC = MD = MI\).

b) Bước 1: Chứng minh \(\widehat {DCB} = \widehat {OBC}\left( { = \widehat {OCB}} \right)\).

Bước 2: \(\widehat {DCB} + \widehat {CBD} = \widehat {CBO} + \widehat {CBD} = \widehat {OBD} = 90^\circ \).

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác OAB có: \(OA = OB\) (đều bằng bán kính (O)) nên tam giác OAB cân tại O, mà I là trung điểm của AB nên OI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác OAB, do đó \(OI \bot AB\).

Lấy M là trung điểm của CB nên DM, IM lần lượt là đường trung tuyến của 2 tam giác vuông IBC và DCB, nên ta có \(MB = MC = MD = MI = \frac{{BC}}{2}\).

Do đó 4 đỉnh của tứ giác BDCI cung nằm trên một đường tròn đường kính BC.

b) Để giải phương trình trên, ta giải 2 phương trình sau:

Xét tam giác OBC có \(OB = OC\)(cùng bằng bán kính (O)) nên \(\widehat {OCB} = \widehat {OBC}\) (1)

Xét (C; CI) có AB vuông góc với CI tại I nên AB là tiếp tuyến của (C; CI).

Mặt khác BD cũng là tiếp tuyến của (C;CI).

Suy ra \(\widehat {ICB} = \widehat {DCB}\) (2).

Từ (1) và (2) nên \(\widehat {DCB} = \widehat {OBC}\).

Ta lại có \(\widehat {DCB} + \widehat {DBC} = 90^\circ \) (do tam giác CBD vuông tại D) hay \(\widehat {OBC} + \widehat {DBC} = 90^\circ \), do đó \(\widehat {OBD} = 90^\circ \).

Suy ra \(BD \bot OB\) tại B.

Vậy BD là tiếp tuyến (O).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 21 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC, sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Lấy điểm M sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng OM. Chứng minh a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) \(MC = R\sqrt 3 \).
Giải bài 22 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm trên đường tròn. Lấy điểm B sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng OB. Kẻ hai tiếp tuyến BM, BN của đường tròn (O). a) Tính số đo góc MBN và độ dài đoạn thẳng BM theo R. b) Tứ giác AMON là hình gì ? Vì sao? c) Tính độ dài đoạn thẳng OH theo R với H là giao điểm của OA và MN.
Giải bài 23 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Hình 23 minh họa thước phân giác. Thước gồm hai thanh gỗ ghép lại thành góc vuông BAC và một tấm gỗ có dạng hình tam giác ACD với AD là tia phân giác của góc BAC. Có thể dùng thước phân giác để tìm tâm của một hình tròn hay không? Vì sao?
Giải bài 24 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyển thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC và H là giao điểm của MN và AB (Hình 24).
Giải bài 25 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với \(R \ne r\). Đường nối OO' lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O') tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh: a) \(\widehat {DME} = 90^\circ \) b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O') c) MD. MB=ME. MC
Giải bài 26 trang 110 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hình chiếu của H trên AB, AC lần lượt là D, E. Gọi (O) là đường tròn đường kính HB và (O') là đường tròn đường kính HC. Chứng minh: a) Điểm D thuộc đường tròn (O) và điểm E thuộc đường tròn (O’); b) Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài; c) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’); d) AH = DE; e) Diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.
Giải bài 19 trang 108 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn tâm O bán kính 15cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho \(OA = 25\)cm. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H. a) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.