Giải chuyên đề học tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức Bài 4. Nhị thức Newton Chuyên đề học tập Toán 10 kết nố..

Giải bài 2.18 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức


Biết rằng \({(2 + x)^{100}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{100}}{x^{100}}\). Với giá trị nào của k \((0 \le k \le 100)\) thì \({a_k}\) lớn nhất?

Đề bài

Biết rằng \({(2 + x)^{100}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{100}}{x^{100}}\). Với giá trị nào của k \((0 \le k \le 100)\) thì \({a_k}\) lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{(2 + x)^{100}} = C_{100}^0{2^{100}} + C_{100}^1{2^{99}}x + C_{100}^2{2^{98}}{x^2} + ... + C_{100}^{100}{x^{100}}\\ \Rightarrow {a_k} = {2^{100 - k}}C_{100}^k\end{array}\)

Để \({a_k}\) lớn nhất thì \({a_{k - 1}} \le {a_k} \ge {a_{k + 1}}\forall k\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{101 - k}}C_{100}^{k - 1} \le {2^{100 - k}}C_{100}^k \ge {2^{99 - k}}C_{100}^{k + 1}\\ \Leftrightarrow {2^{101 - k}}\frac{{100!}}{{(k - 1)!\left( {101 - k} \right)!}} \le {2^{100 - k}}\frac{{100!}}{{k!\left( {100 - k} \right)!}} \ge {2^{99 - k}}\frac{{100!}}{{(k + 1)!\left( {99 - k} \right)!}}\\ \Leftrightarrow {2^2}\frac{1}{{\left( {101 - k} \right)(100 - k)}} \le 2.\frac{1}{{k\left( {100 - k} \right)}} \ge \frac{1}{{k(k + 1)}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{\left( {101 - k} \right)(100 - k)}} \le \frac{2}{{k\left( {100 - k} \right)}}\\\frac{2}{{k\left( {100 - k} \right)}} \ge \frac{1}{{k(k + 1)}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{101 - k}} \le \frac{1}{k}\\\frac{2}{{100 - k}} \ge \frac{1}{{k + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k \le 101 - k\\2(k + 1) \ge 100 - k\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \frac{{98}}{3} \le k \le \frac{{101}}{3} \Rightarrow k = 33\;(k \in \mathbb{N})\end{array}\)

Vậy \({a_{33}}\) là lớn nhất.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store