Giải bài 1 trang 93 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Tìm các giới hạn sau: a) (lim frac{{nleft( {2{n^2} + 3} right)}}{{4{n^3} + 1}}); b) (lim left[ {sqrt n left( {sqrt {n + 5} - sqrt {n + 1} } right)} right]).

Đề bài

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{n\left( {2{n^2} + 3} \right)}}{{4{n^3} + 1}}\);

b) \(\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } \right)} \right]\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\) và c là hằng số: \(\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = a \pm b\), \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.a\), \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\).

+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: \(\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0\) với k là số nguyên dương, \(\lim c = c\) (c là hằng số)

Lời giải chi tiết

a) \(\lim \frac{{n\left( {2{n^2} + 3} \right)}}{{4{n^3} + 1}} = \lim \frac{{2 + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{4 + \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{{2 + \lim \frac{3}{{{n^2}}}}}{{4 + \lim \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{1}{2}\);

b) \(\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } \right)} \right] = \lim \frac{{\sqrt n \left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} } \right)}}\)

\( = \lim \frac{{4\sqrt n }}{{\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} }} = \lim \frac{4}{{\sqrt {1 + \frac{5}{n}} + \sqrt {1 + \frac{1}{n}} }} = \frac{4}{{\sqrt {1 + \lim \frac{5}{n}} + \sqrt {1 + \lim \frac{1}{n}} }} = \frac{4}{{1 + 1}} = 2\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 2 trang 93 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim {u_n} = 2,\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = 4\). Tìm \(\lim \frac{{3{u_n} - {v_n}}}{{{u_n}{v_n} + 3}}\).
Giải bài 3 trang 93 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm \(\lim \frac{{{6^n} + {4^n}}}{{\left( {{2^n} + 1} \right)\left( {{3^n} + 1} \right)}}\).
Giải bài 4 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho \(a > b > 0\) và \(\lim \frac{{{a^{n + 1}} + {b^n}}}{{2{a^n} + {b^{n + 1}}}} = 1\). Tìm giá trị của a.
Giải bài 5 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim n{u_n} = \frac{1}{2}\). Tìm \(\lim \left( {3n - 4} \right){u_n}\).
Giải bài 6 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau: Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích \(\frac{1}{4}\)). Bước 2: Làm tương tự bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích \(\frac{1}{{{4^2}}}\)) Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi \({3^{n - 1}}\) tam giác, mỗi tam giác có diện tích \(\frac{1
Giải bài 7 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm \({A_1}\) của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm \({A_2}\) của \({A_1}B\). Tiếp nữa, nó phải đi đến trung điểm \({A_3}\) của \({A_2}B\). Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể đến được mục tiêu ở B”.
Giải bài 8 trang 94 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 9}}{{\left| {x + 3} \right|}}\;khi\;x \ne - 3\\\;\;\;\;a\;\;\;\;\,khi\;x = - 3\end{array} \right.\) a) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f\left( x \right)\). b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại \(x = - 3\).
Giải bài 9 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\). a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho. b) Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\).
Giải bài 10 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho điểm M thay đổi trên parabol \(y = {x^2}\); H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H. Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {OM - MH} \right)\)
Giải bài 11 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Chứng minh rằng phương trình \({x^5} + 3{x^2} - 1 = 0\) trong mỗi khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right);\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\) đều có ít nhất một nghiệm.
Giải bài 12 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính \(AB = 10m\), một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc \(\alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\), rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi \(S\left( \alpha \right)\) là quãng đường người đó đã di chuyển. a) Viết công thức tính \(S\left( \alpha \right)\) theo \(\alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\). b) Xét tính liên tục của hàm số \(y = S\left( \alpha \right)\)
Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 91, 92, 93 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
\(\lim \frac{{3{n^2} + 2n}}{{2 - {n^2}}}\) bằng A. \(\frac{3}{2}\). B. \( - 2\). C. 3. D. \( - 3\).