Hệ thức lượng trong tam giác - Từ điển môn Toán 10 1. Định lí cosin là gì?
Trong tam giác ABC:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\);
\({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\);
\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\).
* Định lí Pythagore là một trường hợp đặc biệt của định lí cosin khi tính cạnh huyền trong tam giác vuông.
2. Hệ quả của định lí cosin
Trong tam giác ABC:
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\);
\(\cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}}\);
\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).
3. Ví dụ minh hoạ ứng dụng định lí cosin
1) Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {120^o}\) và AB = 5, AC = 8. Tính độ dài cạnh BC.
Giải:
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos {120^o}\)
\( = {5^2} + {8^2} - 2.5.8.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 129\). Vậy \(BC = \sqrt {129} \).
2) Cho tam giác ABC có \(C = {115^o}\), AC = 8 và BC = 12. Tính độ dài cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó.
Giải:
Theo định lí cosin, ta có:
\(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.\cos C\)
\( = {12^2} + {8^2} - 2.12.8.\cos {115^o} \approx 289,14\).
Vậy \(AB \approx \sqrt {289,14} \approx 17\).
Theo hệ quả của định lí cosin, ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} \approx \frac{{{{17}^2} + {8^2} - {{12}^2}}}{{2.17.8}} \approx 0,7684\).
Suy ra \(\widehat A \approx {39^o}47'\), \(\widehat B = {180^o} - (\widehat A + \widehat C) \approx {25^o}13'\).
3) Hai máy bay cùng xuất phát từ một sân bay A và bay theo hai hướng khác nhau, tạo với nhau góc 60°. Máy bay thứ nhất bay với vận tốc 650 km/h, máy bay thứ hai bay với vận tốc 900 km/h. Sau 2 giờ, hai máy bay cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết rằng cả hai máy bay bay theo đường thẳng và sau 2 giờ bay đều chưa hạ cánh.
Giải:
Theo định lí cosin, ta có:
\(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.\cos C\)
\( = {12^2} + {8^2} - 2.12.8.\cos {115^o} \approx 289,14\).
Vậy \(AB \approx \sqrt {289,14} \approx 17\).
Theo hệ quả của định lí cosin, ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} \approx \frac{{{{17}^2} + {8^2} - {{12}^2}}}{{2.17.8}} \approx 0,7684\).
Suy ra \(\widehat A \approx {39^o}47'\), \(\widehat B = {180^o} - (\widehat A + \widehat C) \approx {25^o}13'\).
3) Hai máy bay cùng xuất phát từ một sân bay A và bay theo hai hướng khác nhau, tạo với nhau góc 60°. Máy bay thứ nhất bay với vận tốc 650 km/h, máy bay thứ hai bay với vận tốc 900 km/h. Sau 2 giờ, hai máy bay cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết rằng cả hai máy bay bay theo đường thẳng và sau 2 giờ bay đều chưa hạ cánh.
Giải:
Giả sử sau 2 giờ, máy bay thứ nhất đến vị trí B, máy bay thứ hai đến vị trí C.
Ta có: \(AB = 2.650 = 1300\) (km), \(AC = 2.900 = 1800\) (km).
\(\widehat {BAC} = {60^o}\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \widehat {BAC}\)
\( = {1300^2} + {1800^2} - 2.1300.1800.\cos {60^o} = 2590000\).
Do đó \(BC \approx 1609,35\) (km).
Vậy sau 2 giờ hai máy bay cách nhau khoảng 1609,35 km.
