Hệ thức lượng trong tam giác - Từ điển môn Toán 10 1. Phương pháp bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
a) Sử dụng định lí sin
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó:
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{b}{{2\sin B}} = \frac{c}{{2\sin C}}\).
b) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, S là diện tích tam giác ABC. Khi đó:
\(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}}\).
2. Ví dụ minh hoạ về tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
1) Tam giác ABC có BC = 8 và \(\widehat A = {30^o}\). Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Ta áp dụng công thức \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\)
\( \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{8}{{2\sin {{30}^o}}} = \frac{8}{{2.\frac{1}{2}}} = 8\).
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(R = 8\).
2) Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Theo công thức Heron, diện tích tam giác ABC là:
\(S = \frac{{\sqrt {(AB + AC + BC)(AB + BC - AC)(AB + AC - BC)(BC + AC - AB)} }}{4}\)
\( = \frac{{\sqrt {(3 + 5 + 6)(3 + 6 - 5)(3 + 5 - 6)(6 + 5 - 3)} }}{4}\)
\( = \frac{{\sqrt {14 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 8} }}{4} = \frac{{\sqrt {896} }}{4} = \frac{{8\sqrt {14} }}{4} = 2\sqrt {14} \).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
\(R = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4S}} = \frac{{3 \cdot 5 \cdot 6}}{{4 \cdot 2\sqrt {14} }} = \frac{{90}}{{8\sqrt {14} }} = \frac{{45}}{{4\sqrt {14} }}\).
