Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 3
Câu 1: Đường tròn lượng giác có bán kính bằng:
Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Đề bài
Phần trắc nghiệm (4 điểm)
Câu 1: Đường tròn lượng giác có bán kính bằng:
A. 22 |
B. 1 |
C. π2 |
D. π |
Câu 2: Cho sina=13. Giá trị của biểu thức A=cota−tanatana+2cota bằng:
A. 19 |
B. 79 |
C. 1781 |
D. 717 |
Câu 3: Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A. sin(a−b)=sina.cosb−cosa.sinb.. |
B. cos(a−b)=cosa.cosb−sina.sinb.. |
C. sin(a+b)=sina.cosb−cosa.sinb.. |
D. cos(a+b)=cosa.cosb+sina.sinb.. |
Câu 4: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. cos2a=cos2a−sin2a |
B. cos2a=cos2a+sin2a |
C. cos2a=2cos2a+1 |
D. cos2a=2sin2a−1 |
Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y=−2cosx |
B. y=−2sinx |
C. y=2sin(−x) |
D. y=sinx−cosx |
Câu 6: Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số y=f(x)=2sin2x?
A. |
B. |
C. |
D. |
Câu 7: Nghiệm của phương trình cosx=12 là:
A. x=±π2+k2π |
B. x=±π3+k2π |
C. x=±π4+k2π |
D. x=±π6+k2π |
Câu 8: Trên đoạn [0;2018π], phương trình √3cotx−3=0 có số nghiệm là :
A. 2018. |
B. 6340. |
C. 2017. |
D. 6339. |
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 13;132;133;134;135;...Số hạng tổng quát của dãy số này là?
A. un=13.13n+1 |
B. un=13n+1 |
C. un=13n |
D. un=13n−1 |
Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi {u1=2un+1=13(un+1). Tìm số hạng u4.
A. u4=59. |
B. u4=1. |
C. u4=23. |
D. u4=1427. |
Câu 11: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. un=3n |
B. un=(−3)n+1 |
C. un=3n+1 |
D. un=2n+1 |
Câu 12: Cho cấp số cộng (un) và gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết u21=−19 và S22=0. Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó.
A. un=21+2n |
B. un=21−2n |
C. un=23−2n |
D. un=23+2n |
Câu 13: Hùng đang tiết kiệm để mua một cây đàn piano có giá 142 triệu đồng. Trong tháng đầu tiên, anh ta để dành được 20 triệu đồng. Mỗi tháng tiếp theo anh ta để dành được 3 triệu đồng và đưa số tiền tiết kiệm của mình. Hỏi ít nhất vào tháng thứ bao nhiêu thì Hùng mới có đủ tiền để mua cây đàn piano đó?
A. 43 |
B. 41 |
C. 40 |
D. 42 |
Câu 14: Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. 1;2;3;4;5 |
B. 1;3;6;9;12 |
C. 2;4;6;8;10 |
D. 2;2;2;2;2 |
Câu 15: Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1=2 và u6=486. Công bội q bằng
A. q=3 |
B. q=5 |
C. q=32 |
D. q=23 |
Câu 16: Cho (un) là cấp số nhân, đặt Sn=u1+u2+...+un. Biết S2=4;S3=13và u2<0, giá trị S5 bằng
A. 2 |
B. 18116 |
C. 3516 |
D. 121 |
Câu 17: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:
Thời gian |
[15;20) |
[20;25) |
[25;30) |
[30;35) |
[35;40) |
[40;45) |
[45;50) |
Số nhân viên |
6 |
14 |
25 |
37 |
21 |
13 |
9 |
Có bao nhiêu nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc là từ 15 phút đến dưới 20 phút?
A. 6 |
B. 9 |
C. 14 |
D. 13 |
Câu 18: Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm |
[a1;a2) |
. |
[ai;ai+1) |
. |
[ak;ak+1) |
Tần số |
m1 |
. |
mi |
. |
mk |
Với n=m1+m2+...+mk là cỡ mẫu và xi=ai+ai+12 (i=1,...k) là giá trị đại diện của nhóm [ai;ai+1). Khi đó công thức tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
A. ˉx=nm1x1+…+mkxk |
B. ˉx=(m1x1)…(mkxk)n |
C. ˉx=m1x1−…−mkxkn |
D. ˉx=m1x1+…+mkxkn |
Câu 19: Thời gian luyện tập trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau:
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
A. 3 |
B. 4 |
C. 7 |
D. 5 |
Câu 20: Trong một hội thao, thời gian chạy 200m của một nhóm các vận động viên được ghi lại ở bảng sau:
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. [20;30) |
B. [30;40) |
C. [50;60) |
D. [60;70) |
Phần tự luận (6 điểm)
Bài 1. (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : y=tan2x−tanx+1 với x∈[−π4;π4].
Bài 2. (1,5 điểm)
a) Giải phương trình cotx=√3
b) Trong khoảng (0;π), phương trình cos4x+sinx=0 có tập nghiệm là S. Tìm S.
c) Giải phương trình 32−3cos4x=6sinx.sin3x.
Bài 3. (2 điểm)
a) Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau : Giá từ mét khoan đầu tiên là 100000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá mỗi mét tăng thêm 30000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?
b) Cho cấp số nhân (xn) có x2=−3 và x4=−27. Tính số hạng đầu x1 và công bội q của cấp số nhân
Bài 4. (1,5 điểm)
Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong một tuần ở bảng sau:
a) Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
b) Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này.
---- Hết ----
Lời giải chi tiết
Phần trắc nghiệm (4 điểm)
Câu 1: B |
Câu 2: D |
Câu 3: A |
Câu 4: A |
Câu 5: A |
Câu 6: C |
Câu 7: B |
Câu 8: A |
Câu 9: C |
Câu 10: A |
Câu 11: C |
Câu 12: C |
Câu 13: D |
Câu 14: D |
Câu 15: A |
Câu 16: B |
Câu 17: A |
Câu 18: D |
Câu 19: C |
Câu 20: A |
Câu 1: Đường tròn lượng giác có bán kính bằng:
A. 2 |
B. 1 |
C. π2 |
D. π |
Phương pháp
Đường tròn lượng giác có bán kính bằng 1.
Lời giải
Đường tròn lượng giác có bán kính bằng 1.
Đáp án B
Câu 2: Cho sina=13. Giá trị của biểu thức A=cota−tanatana+2cota bằng:
A. 19 |
B. 79 |
C. 1781 |
D. 717 |
Phương pháp
B1: Biến đổi biểu thức A để xuất hiện giả thiết .
B2: Thay sina=13 vào biểu thức A sau đó rút gọn.
Lời giải
Ta có: A=cota−tanatana+2cota=cosasina−sinacosasinacosa+2cosasina=cos2a−sin2asin2a+2cos2a=(1−sin2a)−sin2asin2a+2(1−sin2a)=1−2sin2a2−sin2a=717.
Đáp án D
Câu 3: Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A. sin(a−b)=sina.cosb−cosa.sinb.. |
B. cos(a−b)=cosa.cosb−sina.sinb.. |
C. sin(a+b)=sina.cosb−cosa.sinb.. |
D. cos(a+b)=cosa.cosb+sina.sinb.. |
Phương pháp
Sử dụng công thức cộng.
Lời giải
Ta có: sin(a−b)=sina.cosb−cosa.sinb..
Đáp án A
Câu 4: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. cos2a=cos2a−sin2a |
B. cos2a=cos2a+sin2a |
C. cos2a=2cos2a+1 |
D. cos2a=2sin2a−1 |
Phương pháp
Áp dụng công thức nhân đôi
Lời giải
Ta có: cos2a=cos2a−sin2a=2cos2a−1=1−2sin2a.
Đáp án A
Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y=−2cosx |
B. y=−2sinx |
C. y=2sin(−x) |
D. y=sinx−cosx |
Phương pháp
Để xét tính chẵn – lẻ của hàm số, ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:
- Nếu D là tập đối xứng (tức ∀x∈D⇒−x∈D), thì ta thực hiện tiếp bước 2.
- Nếu D không phải tập đối xứng (tức là ∃x∈D mà −x∉D) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Bước 2: Xác định f(−x):
- Nếu f(−x)=f(x),∀x∈D thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.
- Nếu f(−x)=−f(x),∀x∈D thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.
- Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Lời giải
Xét đáp án A:
Do tập xác định D=R nên ∀x∈R⇒−x∈R.
Ta có: f(−x)=−2cos(−x)=−2cosx=f(x).
Vậy hàm số y=−2cosx là hàm số chẵn.
Đáp án A
Câu 6: Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số y=f(x)=2sin2x?
A. |
B. |
C. |
D. |
Phương pháp
Dựa vào các điểm đặc biết của đồ thị để nhận biết hàm số.
Lời giải
Ta thấy −2≤2sin2x≤2 nên ta có loại A và B.
Tiếp theo với C và D ta có :
Ta thấy với x=0 thì y=0 nên đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
Từ đây ta chọn đáp án C.
Đáp án C
Câu 7: Nghiệm của phương trình cosx=12 là:
A. x=±π2+k2π |
B. x=±π3+k2π |
C. x=±π4+k2π |
D. x=±π6+k2π |
Phương pháp
- Trường hợp |m|>1 phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp |m|≤1, khi đó: Tồn tại duy nhất một số thực α∈[−π2;π2] sao cho cosα=m.
Ta có : cosx=cosα⇔[x=α+k2πx=−α+k2π,(k∈Z).
Lời giải
Ta có: cosx=12⇔cosx=cosπ3⇔[x=π3+k2πx=−π3+k2π(k∈Z)
Đáp án B
Câu 8: Trên đoạn [0;2018π], phương trình √3cotx−3=0 có số nghiệm là :
A. 2018. |
B. 6340. |
C. 2017. |
D. 6339. |
Phương pháp
Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.
Lời giải
Ta có : cotx=√3⇔cotx=cotπ6⇔x=π6+kπ(k∈Z).
Theo giả thiết, ta có 0≤π6+kπ≤2018πxap xi→−16≤k≤2017,833.
3k∈Z→k∈{0;1;...;2017}.
Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 13;132;133;134;135;...Số hạng tổng quát của dãy số này là?
A. un=13.13n+1 |
B. un=13n+1 |
C. un=13n |
D. un=13n−1 |
Phương pháp
Tìm tính chất chung của các số trong dãy số rồi dự đoán công thức tổng quát.
Lời giải
Từ các số hạng đầu tiên của dãy số ta dự đoán un=13n,n∈N∗.
Đáp án C
Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi {u1=2un+1=13(un+1). Tìm số hạng u4.
A. u4=59. |
B. u4=1. |
C. u4=23. |
D. u4=1427. |
Phương pháp
Tính lần lượt u2,u3,u4 theo bằng cách thay lần lượt n=1,2,3 vào công thức truy hồi của dãy số.
Lời giải
Ta có:
u2=13(u1+1)=13(2+1)=1.
u3=13(u2+1)=13(1+1)=23.
u4=13(u3+1)=13(23+1)=59.
Vậy u4=59.
Đáp án A
Câu 11: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. un=3n |
B. un=(−3)n+1 |
C. un=3n+1 |
D. un=2n+1 |
Phương pháp
Để chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng, ta xét A=un+1−un
∙ Nếu A là hằng số thì (un) là một cấp số cộng với công sai d=A.
∙ Nếu A phụ thuộc vào n thì (un) không là cấp số cộng.
Lời giải
Ta có:
Xét đáp án A: un+1−un=3n+1−3n=2.3n(∀n∈N∗) nên un=3n không phải là cấp số cộng.
Xét đáp án B: un+1−un=(−3)n+1−(−3)n=−4.(−3)n(∀n∈N∗) nên un=(−3)n+1 không phải là cấp số cộng.
Xét đáp án C: un+1−un=[3(n+1)+1]−(3n+1)=3(∀n∈N∗) không đổi, nên un=3n+1 là cấp số cộng.
Xét đáp án D: un+1−un=2n+2−2n+1=2n+1(∀n∈N∗) nên un=2n+1 không phải là cấp số cộng.
Đáp án C
Câu 12: Cho cấp số cộng (un) và gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết u21=−19 và S22=0. Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó.
A. un=21+2n |
B. un=21−2n |
C. un=23−2n |
D. un=23+2n |
Phương pháp
Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công sai d và số hạng đầu u1, giải hệ phương trình này tìm được d và u1.
Lời giải
Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u1 và công sai d.
Ta có: {u21=−19S22=0⇔{u21=u1+20dS22=22u1+22.21d2⇔{u1+20d=−192u1+21d=0⇔{u1=21d=−2.
Khi đó: un=u1+(n−1)d=21−2(n−1)=23−2n.
Đáp án C
Câu 13: Hùng đang tiết kiệm để mua một cây đàn piano có giá 142 triệu đồng. Trong tháng đầu tiên, anh ta để dành được 20 triệu đồng. Mỗi tháng tiếp theo anh ta để dành được 3 triệu đồng và đưa số tiền tiết kiệm của mình. Hỏi ít nhất vào tháng thứ bao nhiêu thì Hùng mới có đủ tiền để mua cây đàn piano đó?
A. 43 |
B. 41 |
C. 40 |
D. 42 |
Phương pháp
Cho một cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d.
Khi đó : un=u1+(n−1)d
Lời giải
Tổng số tiền Hùng tiết kiệm được vào mỗi tháng lập thành một cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1=20 và công sai d=3.
Tổng số tiền Hùng tiết kiệm được vào tháng thứ n bằng: un=u1+(n−1)d=20+(n−1).3=3n+17.
Hùng có đủ tiền mua cây đàn un≥142⇔3n+17≥142 ⇔n≥1253≈41,67.
Vậy ít nhất vào tháng thứ 42 thì Hùng mới có đủ tiền để mua cây đàn piano đó.
Đáp án D
Câu 14: Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. 1;2;3;4;5 |
B. 1;3;6;9;12 |
C. 2;4;6;8;10 |
D. 2;2;2;2;2 |
Phương pháp
Chứng minh ∀n≥1,un+1=un.q trong đó q là một số không đổi.
Nếu un≠0 với mọi n∈N∗ thì ta lập tỉ số T=un+1un.
∗ T là hằng số thì (un) là cấp số nhân có công bội q=T.
∗ T phụ thuộc vào n thì (un) không là cấp số nhân.
Lời giải
Ta thấy ở đáp án D có u1=u2=u3=u4=u5=2 nên đây là cấp số nhân với công bội q=1.
Đáp án D
Câu 15: Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1=2 và u6=486. Công bội q bằng
A. q=3 |
B. q=5 |
C. q=32 |
D. q=23 |
Phương pháp
Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu u1, giải hệ phương trình này tìm được q và u1.
Lời giải
Theo đề ra ta có: {u1=2u6=486 ⇔{u1=2486=u1.q5⇒q5=243=35⇒q=3.
Đáp án A
Câu 16: Cho (un) là cấp số nhân, đặt Sn=u1+u2+...+un. Biết S2=4;S3=13và u2<0, giá trị S5 bằng
A. 2 |
B. 18116 |
C. 3516 |
D. 121 |
Phương pháp
Cho một cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công bội q.
Đặt Sn=u1+u2+...+un.
Khi đó : Sn=u1.1−qn1−q,q≠1.
Lời giải
Gọi u1,q lần lượt là số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân cần tìm.
Từ giả thiết ta có {S2=4S3=13⇔{u1(1+q)=4u1(1+q+q2)=13⇔{u1(1+q)=4[q=3q=−34.
Vì {u2<0u3=S3−S2=9>0⇒q=u3u2<0 nên cấp số nhân cần tìm có {u1=16q=−34.
Do đó S5=u1(1−q51−q)=18116.
Đáp án B
Câu 17: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:
Thời gian |
[15;20) |
[20;25) |
[25;30) |
[30;35) |
[35;40) |
[40;45) |
[45;50) |
Số nhân viên |
6 |
14 |
25 |
37 |
21 |
13 |
9 |
Có bao nhiêu nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc là từ 15 phút đến dưới 20 phút?
A. 6 |
B. 9 |
C. 14 |
D. 13 |
Phương pháp
Đọc bảng số liệu.
Lời giải
Có 6 nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc là từ 15 phút đến dưới 20 phút.
Đáp án A
Câu 18: Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm |
[a1;a2) |
. |
[ai;ai+1) |
. |
[ak;ak+1) |
Tần số |
m1 |
. |
mi |
. |
mk |
Với n=m1+m2+...+mk là cỡ mẫu và xi=ai+ai+12 (i=1,...k) là giá trị đại diện của nhóm [ai;ai+1). Khi đó công thức tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
A. ˉx=nm1x1+…+mkxk |
B. ˉx=(m1x1)…(mkxk)n |
C. ˉx=m1x1−…−mkxkn |
D. ˉx=m1x1+…+mkxkn |
Phương pháp
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là ˉx.
ˉx=m1x1+…+mkxkn
trong đó, n=m1+…+mk là cỡ mẫu và xi=ai+ai+12 (với i=1,…,k ) là giá trị đại diện của nhóm [ai;ai+1).
Lời giải
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là ˉx.
ˉx=m1x1+…+mkxkn
Đáp án D
Câu 19: Thời gian luyện tập trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau:
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
A. 3 |
B. 4 |
C. 7 |
D. 5 |
Phương pháp
Để tính tứ phân vị thứ nhất Q3 của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q3, giả sử đó là nhóm thứ p : [ap;ap+1). Khi đó,
Q3=ap+3n4−(m1+…+mp−1)mp⋅(ap+1−ap),
trong đó, n là cỡ mẫu, mp là tần số nhóm p, với p=1 ta quy ước m1+…+mp−1=0.
Lời giải
Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu x1;x2,…,x39 là x30∈[6;8). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
Q3=6+3.394−(3+8+12)12⋅(8−6)=16924≈7,042
Đáp án C
Câu 20: Trong một hội thao, thời gian chạy 200m của một nhóm các vận động viên được ghi lại ở bảng sau:
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. [20;30) |
B. [30;40) |
C. [50;60) |
D. [60;70) |
Phương pháp
- Gọin là cỡ mẫu.
- Giả sử nhóm [um;um+1) chứa trung vị;
- nm là tần số của nhóm chứa trung vị;
- C=n1+n2+…+nm−1.
Khi đó Me=um+n2−Cnm⋅(um+1−um)
Lời giải
Số vận động viên tham gia chạy là: n=5+12+32+45+30=124
Gọi x1;x2;x3;…;x124 lần lượt là thời gian chạy của các vận động viên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn
Do x1,…,x5∈[21;21,5);x6,…,x17∈[21,5;22)
x18,…,x49∈[22;22,5);x50,…,x94∈[22,5;23);… nên trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm [22,5;23)
Ta có: n=124;nm=45;C=5+12+32=49;um=22,5;um+1=23
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Me=22,5+1242−49124⋅(23−22,5)=22,55
Đáp án A
Phần tự luận.
Bài 1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : y=tan2x−tanx+1 với x∈[−π4;π4].
Phương pháp
B1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của ẩn
B2: Lập bảng biến thiên, khảo sát hàm số rồi kết luận
Lời giải
Đặt tanx=t, t∈[−1;1], hàm số có dạng: y=t2−t+1.
Xét hàm số y=t2−t+1 trên [−1;1] có BBT như sau:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 34 khi và chỉ khi t=12 tức tanx=12⇔x=arctan(12)+kπ, k∈Z.
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 khi và chỉ khi t=−1 tức là tanx=−1⇔x=−π4+kπ, k∈Z.
Bài 2.
a) Giải phương trình cotx=√3
b) Trong khoảng (0;π), phương trình cos4x+sinx=0 có tập nghiệm là S. Tìm S.
c) Giải phương trình 32−3cos4x=6sinx.sin3x.
Phương pháp
a) Ta có: cotx=m⇔cotx=cotα⇔x=α+kπ(k∈Z).
b) Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.
c) Sử dụng công thức biến tích thành tổng để rút gọn phương trình: sina.sinb=12[cos(a−b)−cos(a+b)].
Lời giải
a) Ta có: cotx=√3⇔cotx=cotπ6⇔x=π6+kπ(k∈Z)⇔x=−5π6+kπ(k∈Z).
b) Ta có cos4x+sinx=0⇔cos4x=−sinx⇔cos4x=sin(−x)⇔cos4x=cos(π2+x)
⇔[4x=π2+x+k2π4x=−π2−x+k2π⇔[x=π6+k2π3x=−π10+k2π5, k∈Z.
Vì x∈(0;π) nên S={π6;5π6;3π10;7π10}.
c) Ta có: 32−3cos4x=6sinx.sin3x
⇔32−3cos4x=3(cos2x−cos4x)
⇔3cos2x=32
⇔cos2x=12⇔x=±π6+kπ,k∈Z.
Bài 3.
a) Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau : Giá từ mét khoan đầu tiên là 100000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá mỗi mét tăng thêm 30000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?
b) Cho cấp số nhân (xn) có x2=−3 và x4=−27. Tính số hạng đầu x1 và công bội q của cấp số nhân
Phương pháp
a) Cho một cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d.
Đặt Sn=u1+u2+...+un.
Khi đó : Sn=n(u1+un)2 hoặc Sn=n[2u1+(n−1)d]2=nu1+n(n−1)2d .
b) Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu u1, giải hệ phương trình này tìm được q và u1.
Lời giải
a) Giá tiền mỗi mét khoan giếng lập thành một cấp số cộng với
u1=100000 (số tiền mét khoan đầu tiên),
u2=u1+30000 (số tiền mét khoan thứ hai),
u3=u2+30000=u1+2.30000 (số tiền mét khoan thứ ba)
…
u20=u19+30000=u1+19.30000 (số tiền mét khoan thứ 20),
và công sai d=30000.
Tổng chi phí cần phải thanh toán là:
S20=u1+u2+u3+...+u20 =20(2.10000+19.30000)2=7700000.
b) Ta có : {x2=−3x4=−27.⇔{x1q=−3x1q3=−27.⇔{q2=9x1=−3q.⇔{q=±3x1=∓1..
Vậy dãy số có x1=−1,q=3 hoặc x1=1,q=−3.
Bài 4.
Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong một tuần ở bảng sau:
a) Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
b) Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Phương pháp
a) Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:
Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p : [ap;ap+1).
Bước 2. Trung vị là Me=ap+n2−(m1+…+mp−1)mp⋅(ap+1−ap),
trong đó n là cỡ mẫu, mp là tần số nhóm p. Với p=1, ta quy ước m1+…+mp−1=0.
b) Để tính tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q1, giả sử đó là nhóm thứ p : [ap;ap+1). Khi đó,
Q1=ap+n4−(m1+…+mp−1)mp⋅(ap+1−ap),
trong đó, n là cỡ mẫu, mp là tần số nhóm p, với p=1 ta quy ước m1+…+mp−1=0.
Để tịnh tứ phân vị thứ ba Q3 của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q3. Giả sử đó là nhóm thứ p : [ap;ap+1). Khi đó,
Q3=ap+3n4−(m1+…+mp−1)mp⋅(ap+1−ap),
trong đó, n là cỡ mẫu, mp là tần số nhóm p, với p=1 ta quy ước m1+…+mp−1=0.
Tứ phân vị thứ hai Q2 chính là trung vị Me.
Nhận xét. Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vi thứ r nhờ tính chất: có khoảng (r⋅n4) giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.
Lời giải
a) Số lần thực hiện cuộc gọi là: n=8+10+7+5+2+1=33.
Gọi x1;x2;x3;…;x33 lần lượt là thời gian thực hiện cuộc gọi theo thứ tự không gian.
Do x1,…,x8∈[0;60);x9,…,x18∈[60;120);x19,…,x25∈[120;180) x26,…,x30∈[180;240);…
Trung vị của dãy số liệu là 12(x16+x17) thuộc nhóm [60;120)nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là
Q2=60+332−810(120−60)=111.
b) Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là 12(x16+x17) thuộc nhóm [60;120)nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là Q2=60+332−810(120−60)=111.
Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là 12(x24+x25) thuộc nhóm [120;180) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là Q3=120+3.334−187(180−120)=177,8.
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 4
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 5
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 6
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 7
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 8
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay