Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 10

a) Ta có:

\({u_1} = \sin \left[ {\left( {2.1 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

\({u_2} = \sin \left[ {\left( {2.2 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

\({u_3} = \sin \left[ {\left( {2.3 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{5\pi }}{4} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

\({u_4} = \sin \left[ {\left( {2.4 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{7\pi }}{4} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Như vậy 4 số hạng đầu của dãy số là: \(\frac{{\sqrt 2 }}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{2}, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

b) Ta có:

\({u_{n + 4}} = \sin \left\{ {\left[ {2\left( {n + 4} \right) - 1} \right]\frac{\pi }{4}} \right\} = \sin \left[ {\left( {2n - 1 + 8} \right)\frac{\pi }{4}} \right] \)

\(= \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4} + 2\pi } \right] = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = {u_n}\).

Vậy \({u_{n + 4}} = {u_n}\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

c) Theo câu b, ta có \({u_{n + 4}} = {u_n}\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Như vậy \({u_1} = {u_5} = {u_9}\), \({u_2} = {u_6} = {u_{10}}\), \({u_3} = {u_7} = {u_{11}}\), \({u_4} = {u_8} = {u_{12}}\).

Do đó:

\({u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{12}} = 3\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right) \)

\(= 3\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0\).