Đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 - Đề số 29

Đề bài

PHẦN TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)

Câu 1: Giá trị của biểu thức \(\sqrt 2 + \sqrt 8 \) là:

A. \(4\) .

B. \(5\sqrt 2 \) .

C. \(\sqrt {10} \) .

D. \(3\sqrt 2 \) .

Câu 2: Đồ thị hàm số \(y = 1-2x\) đi qua điểm nào?

 A. \(M( - 2; - 3)\) .

B. \(N( - 2;5)\) .

C. \(P( - 3;2)\) .

D. \(Q(2;5)\) .

Câu 3: Cho đường thẳng \(d:y = ax + 2\) đi qua điểm \(E\left( {1;1} \right)\) . Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là:

A. \(3\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \( - 1\)

Câu 4: Đường thẳng \(y = 2x + 1\) song song với đường thẳng nào sau đây?

A. \(y = x + 1\) .

B. \(y = 2 + x\) .

C. \(y = 2x - 2022\) .

D. \(y = - \frac{1}{2}x + 1\) .

Câu 5: Cho đường tròn \(\left( {O;6\,cm} \right)\) , \(M\) là một điểm cách điểm \(O\) một khoảng \(10\,cm\) . Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) . Khi đó, khoảng cách từ \(M\) đến tiếp điểm là:

A. \(4\) \(cm\) .

B. \(8\) \(cm\) .

C. \(2\sqrt {34} \) \(cm\) .

D. \(18\) \(cm\) .

Câu 6: Cho đường tròn \(\left( {O;5\,cm} \right)\) và dây \(AB\) cách tâm \(O\) một khoảng bằng \(3\) \(cm\) . Độ dài dây\(AB\) là:

A. \(8\) \(cm\) .

B. \(6\) \(cm\) .

C. \(4\) \(cm\) .

D. \(5\) \(cm\) .

PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm).

Bài 1: (3,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) với\(x > 0;x \ne 1\)

2) Cho hàm số \(y = x + 1\) có đồ thị là đường thẳng \(d\) .

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) ? Tại sao?

b) Vẽ \(d\) trên hệ trục tọa độ \(Oxy\) .

c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến \(d\) .

Bài 2: (3,0 điểm)

Cho điểm \(E\) thuộc nửa đường tròn tâm \(O\) , đường kính \(MN\) . Tiếp tuyến tại \(N\) của nửa đường tròn tâm \(O\) cắt đường thẳng \(ME\) tại \(D\) . Kẻ \(OI\) vuông góc với \(ME\) tại \(I\) .

a) Chứng minh rằng tam giác \(MEN\) vuông tại \(E\) . Từ đó chứng minh \(DE.DM = D{N^2}\) .

b) Chứng minh rẳng bốn điểm \(O\) , \(I\) , \(D\) , \(N\) cùng thuộc một đường tròn.

c) Vẽ đường tròn đường kính \(OD\) , cắt nửa đường tròn tâm \(O\) tại điểm thứ hai là \(A\) . Chứng minh rằng \(DA\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm \(O\) và \(\angle DEA = \angle DAM\) . 

Bài 3: (1,0 điểm)

Cho \(A = \frac{{3 - \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } }}{{6 - \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } }}\) tử số có \(2022\) dấu căn, mẫu số có \(2021\) dấu căn.

Chứng minh \(A < \frac{1}{4}\) .

----- Hết -----

Lời giải

Phần trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của biểu thức \(\sqrt 2 + \sqrt 8 \) là:

A. \(4\) .

B. \(5\sqrt 2 \) .

C. \(\sqrt {10} \) .

D. \(3\sqrt 2 \) .

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Lời giải

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt 2 + \sqrt 8 \\ = \sqrt 2 + \sqrt {2.{2^2}} \\ = \sqrt 2 + 2\sqrt 2 \\ = 3\sqrt 2 \end{array}\)

Chọn D.

Câu 2: Đồ thị hàm số \(y = 1-2x\) đi qua điểm nào?

 A. \(M( - 2; - 3)\) .

B. \(N( - 2;5)\) .

C. \(P( - 3;2)\) .

D. \(Q(2;5)\) .

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nếu \({y_0} = a{x_0} + b\)

Lời giải

+ Thay \(x = - 2\) vào hàm số, ta được: \(1 - 2.\left( { - 2} \right) = 5 \ne - 3 \Rightarrow \) Hàm số không đi qua điểm \(M\left( { - 2; - 3} \right)\)

\( \Rightarrow \) Loại đáp án A

+ Thay \(x = - 2\) vào hàm số, ta được: \(1 - 2.\left( { - 2} \right) = 5 \Rightarrow \) Hàm số đi qua điểm \(N\left( { - 2;5} \right)\)

\( \Rightarrow \) Chọn đáp án B

Chọn B.

Câu 3: Cho đường thẳng \(d:y = ax + 2\) đi qua điểm \(E\left( {1;1} \right)\) . Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là:

A. \(3\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \( - 1\)

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nếu \({y_0} = a{x_0} + b\)

Đường thẳng \(y = ax + b\) có hệ số góc là \(a\)

Lời giải

Đường thẳng \(d:y = ax + 2\) đi qua điểm \(E\left( {1;1} \right)\) nên ta có: \(a + 2 = 1 \Leftrightarrow a = - 1\)

Vậy hệ số góc của đường thẳng là \(a = - 1\)

Chọn D.

Câu 4: Đường thẳng \(y = 2x + 1\) song song với đường thẳng nào sau đây?

A. \(y = x + 1\) .

B. \(y = 2 + x\) .

C. \(y = 2x - 2022\) .

D. \(y = - \frac{1}{2}x + 1\) .

Phương pháp giải

Đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = a'x + b'\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\) .

Lời giải

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = 2\\1 \ne - 2022\end{array} \right.\)

Do đó, đường thẳng \(y = x + 1\) song song với đường thẳng \(y = 2x - 2022\)

Chọn C.

Câu 5: Cho đường tròn \(\left( {O;6\,cm} \right)\) , \(M\) là một điểm cách điểm \(O\) một khoảng \(10\,cm\) . Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) . Khi đó, khoảng cách từ \(M\) đến tiếp điểm là:

A. \(4\) \(cm\) .

B. \(8\) \(cm\) .

C. \(2\sqrt {34} \) \(cm\) .

D. \(18\) \(cm\) .

Phương pháp giải

Áp dụng định lý Py – ta – go với tam giác vuông.

Lời giải

\(MA\)  là tiếp tuyến của đường tròn tại \(A \Rightarrow OA \bot AM \Rightarrow \angle OAM = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta AOM\) vuông tại \(A\)

\(\Delta AOM\) vuông tại \(A\) , theo định lý Py – ta – go, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,O{M^2} = O{A^2} + A{M^2}\\ \Leftrightarrow A{M^2} = O{M^2} - O{A^2}\\ \Leftrightarrow A{M^2} = {10^2} - {6^2}\\ \Leftrightarrow A{M^2} = 64\\ \Rightarrow AM = 8\left( {cm} \right)\end{array}\)

Chọn A.

Câu 6: Cho đường tròn \(\left( {O;5\,cm} \right)\) và dây \(AB\) cách tâm \(O\) một khoảng bằng \(3\) \(cm\) . Độ dài dây\(AB\) là:

A. \(8\) \(cm\) .

B. \(6\) \(cm\) .

C. \(4\) \(cm\) .

D. \(5\) \(cm\) .

Phương pháp giải

Xét \(\left( O \right)\) : kẻ \(OH \bot AB\)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow AH = \frac{1}{2}AB\)

\(\Delta AOH\) vuông tại \(H \Rightarrow AH \Rightarrow AB\)

Lời giải

Xét \(\left( O \right)\) : kẻ \(OH \bot AB\)

Ta có: \(AB\) là dây không đi qua tâm \(O\)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow AH = \frac{1}{2}AB\)

\(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) , theo định lý Py – ta – go, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A{O^2} = A{H^2} + O{H^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} = A{O^2} - O{H^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} = {5^2} - {3^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} = 16\\ \Rightarrow AH = 4\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow AB = 2AH = 8\left( {cm} \right)\end{array}\)

Chọn A.

II. TỰ LUẬN

1) Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) với\(x > 0;x \ne 1\)

2) Cho hàm số \(y = x + 1\) có đồ thị là đường thẳng \(d\) .

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) ? Tại sao?

b) Vẽ \(d\) trên hệ trục tọa độ \(Oxy\) .

c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến \(d\) .

Phương pháp giải

1) Xác định mẫu thức chung

Thực hiện các phép toán với các phân thức đại số

2) a) Hàm số \(y = ax + b\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow a > 0\)

Hàm số \(y = ax + b\) nghịch biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow a < 0\)

b) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = ax + b\)

+ Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\)

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

c) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) thì \(OH \bot AB\) .

\( \Rightarrow OH\) là khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(d\)

Lời giải

1)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\\P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\\P = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}:\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\\P = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\left( {\sqrt x - 1} \right)\\P = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

Vậy \(P = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\) với\(x > 0;x \ne 1\)

2) a) Do hệ số của \(x\) là \(1 > 0\) nên hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

b) Với \(x = 0\) thì \(y = 1\) ; với \(x = - 1\) thì \(y = 0\) do đó \(d\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;0} \right),B\left( {0;1} \right)\) .

Vẽ đồ thị:

c) Do \(OA = OB = 1\) nên \(\Delta AOB\) vuông cân tại \(O\) . Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) thì \(OH \bot AB\) .

Do đó, khoảng cách từ \(O\) đến \(d\) bằng \(OH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) .

Vậy khoảng các từ gốc tọa độ \(O\) đến \(d\) là \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (đvđd).

Bài 2: (3,0 điểm)

Cho điểm \(E\) thuộc nửa đường tròn tâm \(O\) , đường kính \(MN\) . Tiếp tuyến tại \(N\) của nửa đường tròn tâm \(O\) cắt đường thẳng \(ME\) tại \(D\) . Kẻ \(OI\) vuông góc với \(ME\) tại \(I\) .

a) Chứng minh rằng tam giác \(MEN\) vuông tại \(E\) . Từ đó chứng minh \(DE.DM = D{N^2}\) .

b) Chứng minh rẳng bốn điểm \(O\) , \(I\) , \(D\) , \(N\) cùng thuộc một đường tròn.

c) Vẽ đường tròn đường kính \(OD\) , cắt nửa đường tròn tâm \(O\) tại điểm thứ hai là \(A\) . Chứng minh rằng \(DA\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm \(O\) và \(\angle DEA = \angle DAM\) . 

Phương pháp giải

a) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

b) \(I,N\) thuộc đường tròn đường kính \(OD\)

c) Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn, chứng minh \(OA \bot AD\) tại \(A\)

$\Delta DEA\backsim \Delta DAM\left( c.g.c \right)\Rightarrow \angle DEA=\angle DAM$

Lời giải

a) \(\Delta MEN\) nội tiếp \(\left( O \right)\) mà \(MN\) là đường kính của \((O) \Rightarrow \Delta MEN\) vuông tại \(E\) \( \Rightarrow NE \bot MD\) .

Do \(ND\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow MN \bot ND\) \( \Rightarrow \Delta MND\) vuông tại \(N\) có \(NE \bot MD\)

\( \Rightarrow DE.DM = D{N^2}\) (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông) (đpcm).

b) Do \(OI \bot ME\) tại \(I\) nên \(\Delta OID\) vuông tại \(I\) \( \Rightarrow I\) thuộc đường tròn đường kính \(OD\) .(1)

Do \(ON \bot ND\) tại\(N\) nên \(\Delta OND\) vuông tại \(N\)

\( \Rightarrow N\) thuộc đường tròn đường kính \(OD\) . (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(4\) điểm \(O,I,D,N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OD\) (đpcm).

c) \(\Delta OAD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OD\) \( \Rightarrow \Delta OAD\) vuông tại\(A\)

\( \Rightarrow OA \bot DA\) mà \(A\) thuộc đường tròn tâm \(O\) .

\( \Rightarrow DA\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O\) (theo dhnb).

Do\(DA;DN\) là 2 tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O\) .

\( \Rightarrow DA = DN\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Mà \(DE.DM = D{N^2}\)

\( \Rightarrow DE.DM = D{A^2} \Rightarrow \frac{{DE}}{{DA}} = \frac{{DA}}{{DM}}\)

Từ đó chứng minh \(\Delta DEA\) đồng dạng với \(\Delta DAM\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \angle DEA = \angle DAM\) (đpcm).

Bài 3: (1,0 điểm)

Cho \(A = \frac{{3 - \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } }}{{6 - \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } }}\) tử số có \(2022\) dấu căn, mẫu số có \(2021\) dấu căn.

Chứng minh \(A < \frac{1}{4}\) .

Phương pháp giải

Đặt \(\sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } = a\) \(\left( {a > 1} \right)\) (có 2022 dấu căn)

Tính giá trị của \(A\) theo \(a\) , từ đó biện luận và chứng minh.

Lời giải

Đặt \(\sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } = a\) \(\left( {a > 1} \right)\) (có 2022 dấu căn)

\( \Leftrightarrow 3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } = {a^2}\) (có 2021 dấu căn)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ... + \sqrt 3 } } } = {a^2} - 3\) .

Khi đó \(A = \frac{{3 - a}}{{6 - {a^2} + 3}} = \frac{1}{{a + 3}}\) .

Do \(a > 1 \Rightarrow a + 3 > 4 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{a + 3}} < \frac{1}{4}\) .

Vậy \(A < \frac{1}{4}\) (đpcm).