Câu 9 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng sao cho chúng đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng chúng đồng quy 

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

Gọi \(I =a\cap b\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in {a}\\
I \in {b}
\end{array} \right.\)

Ta chứng minh \(I ∈ c\). Thật vậy,

Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a,c\).

\((\gamma)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(b,c\).

Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và \((\gamma)\) phân biệt.

Ngoài ra

\(\left\{ \begin{array}{l}
{c} \subset \left( \beta \right)\\
{c} \subset \left( \gamma \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {c}\)

\(I ∈ a\subset \left( \beta \right) \Rightarrow  I ∈ (β) = (a,c)\)

\(I ∈ b\subset \left( \gamma \right) \Rightarrow I ∈ (\gamma) = (b,c)\)

Từ đó suy ra, \(I ∈(\beta ) \cap (\gamma )=c\).

Cách khác:

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(b\) và \(c\).

Gọi

\(\begin{array}{l}I = a \cap b \Rightarrow I \in b \subset \left( P \right)\\J = a \cap c \Rightarrow J \in c \subset \left( P \right)\end{array}\)

Nếu \(I,J\) phân biệt thì \(a\) đi qua cả \(I\) và \(J\) hay \(a \equiv IJ \subset \left( P \right)\)

Do đó \(a,b,c\) cùng nằm trong \(\left( P \right)\) (mâu thuẫn)

Do đó \(I \equiv J\) là điểm thuộc cả \(a,b,c\).

Vậy \(a,b,c\) đồng qui.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 6 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.