Câu 63 đến câu 71 trang 179-182 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 63

a. $\lim {{n - 2\sqrt n \sin 2n} \over {2n}}$ là :

A. 1

B.  ${1 \over 2}$

C. -1

D. 0

b. $\lim {{{n^2} - 3{n^3}} \over {2{n^3} + 5n - 2}}$ là :

A.  ${1 \over 2}$

B.  ${1 \over 5}$

C.  ${-3 \over 2}$

D. 0

c.$\lim {{{3^n} - 1} \over {{2^n} - {2}.3^n + 1}}$ là :

A.  ${-1 \over 2}$

B.  ${3 \over 2}$

C.  ${1 \over 2}$

D. -1

d.$\lim \left( {2n - 3{n^3}} \right)$ là :

A. +∞

B. −∞

C. 2

D. -3

Lời giải chi tiết:

a.  $\eqalign{& \lim {{n - 2\sqrt n \sin 2n} \over {2n}} = \lim \left( {{1 \over 2} - {{\sin 2n} \over {\sqrt n }}} \right) = {1 \over 2} \cr & \text{vì }\,\left| {{{\sin 2n} \over {\sqrt n }}} \right| \le {1 \over {\sqrt n }},\lim {1 \over {\sqrt n }} = 0. \cr}$

Chọn B

b.  $\lim {{{n^2} - 3{n^3}} \over {2{n^3} + 5n - 2}} = \lim {{{1 \over n} - 3} \over {2 + {5 \over {{n^2}}} - {2 \over {{n^3}}}}} = - {3 \over 2}.$

Chọn C

c.  $\lim {{{3^n} - 1} \over {{2^n} - {{2.3}^n} + 1}} = \lim {{1 - {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \over {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 2 + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}}} = - {1 \over 2}$

Chọn A

d.  $\lim \left( {2n - 3{n^3}} \right) = \lim {n^3}\left( {{2 \over {{n^2}}} - 3} \right) = - \infty$

Chọn B

Quảng cáo

Câu 64

a.$\lim {{{n^3} - 2n} \over {1 - 3{n^2}}}$ là :

A.  ${-1 \over 3}$

B.  ${2 \over 3}$

C.  +∞

D.  −∞

b. $\lim \left( {{2^n} - {5^n}} \right)$ là :

A. +∞

B. 1

C. −∞

D.  ${5 \over 2}$

c.$\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)$ là :

A. +∞

B. −∞

C. 0

D. 1

d.$\lim {1 \over {\sqrt {{n^2} + n} - n}}$ là :

A. +∞

B. 0

C. 2

D. -2

Lời giải chi tiết:

a.  $\lim {{{n^3} - 2n} \over {1 - 3{n^2}}} = \lim {{1 - {2 \over {{n^2}}}} \over {{1 \over {{n^3}}} - {3 \over n}}} = - \infty$

Chọn D

b.  $\lim \left( {{2^n} - {5^n}} \right) = \lim {5^n}\left[ {{{\left( {{2 \over 5}} \right)}^n} - 1} \right] = - \infty$

Chọn C

c.  $\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \lim {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = 0$

Chọn C

d.  $\lim {1 \over {\sqrt {{n^2} + n} - n}} = \lim {{\sqrt {{n^2} + n} + n} \over n}$

$= \lim \left( {\sqrt {1 + {1 \over n}} + 1} \right) = 2$

Chọn C

Câu 65

a.$\lim {{1 - {2^n}} \over {{3^n} + 1}}$ là :

A.  ${-2 \over 3}$

B. 0

C. 1

D.  ${1 \over 2}$

b. Tổng của cấp số nhân vô hạn

$- {1 \over 2},{1 \over 4}, - {1 \over 8},...,{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n}}},...$

Là :

A.  ${-1 \over 4}$

B.  ${1 \over 2}$

C. -1

D.  ${-1 \over 3}$

c. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số :

A.  ${6 \over 11}$

B.  ${46 \over 90}$

C.  ${43 \over 90}$

D.  ${47 \over 90}$

Lời giải chi tiết:

a.  $\lim {{1 - {2^n}} \over {{3^n} + 1}} = \lim {{{{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n} - {{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n}} \over {1 + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}}} = 0$

Chọn B

b. Công bội  $q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {1 \over 4}:\left( { - {1 \over 2}} \right) = - {1 \over 2}$

$S = {{{u_1}} \over {1 - q}} = {{ - {1 \over 2}} \over {1 + {1 \over 2}}} = - {1 \over 3}$

Chọn D

c.  

$\eqalign{ & 0,5111... = 0,5 + 0,01 + 0,001 + ... \cr  & = {1 \over 2} + \left( {{1 \over {100}} + {1 \over {1000}} + ...} \right) = {1 \over 2} + {{{1 \over {100}}} \over {1 - {1 \over {10}}}} = {{46} \over {90}} \cr}$

Chọn B

Câu 66

a. Trong bốn giới hạn sau đây giới hạn nào là -1 ?

A.  $\lim {{2n + 3} \over {2 - 3n}}$

B.  $\lim {{{n^2} - {n^3}} \over {2{n^3} + 1}}$

C.  $\lim {{{n^2} + n} \over { - 2n - {n^2}}}$

D.  $\lim {{{n^3}} \over {{n^2} + 3}}$

b. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là +∞ ?

A.  $\lim {{{n^2} - 3n + 2} \over {{n^2} + n}}$

B.  $\lim {{{n^3} + 2n - 1} \over {n - 2{n^3}}}$

C.  $\lim {{2{n^2} - 3n} \over {{n^3} + 3n}}$

D.  $\lim {{{n^2} - n + 1} \over {2n - 1}}$

c. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?

A.  $\lim {{{2^n} + 1} \over {{{3.2}^n} - {3^n}}}$

B.  $\lim {{{2^n} + 3} \over {1 - {2^n}}}$

C.  $\lim {{1 - {n^3}} \over {{n^2} + 2n}}$

D.  $\lim {{\left( {2n + 1} \right){{\left( {n - 3} \right)}^2}} \over {n - 2{n^3}}}$

Lời giải chi tiết:

a.

$\eqalign{ & \lim {{2n + 3} \over {2 - 3n}} = \lim {{2 + {3 \over n}} \over {{2 \over n} - 3}} = - {2 \over 3} \cr  & \lim {{{n^2} - {n^3}} \over {2{n^3} + 1}} = \lim {{{1 \over n} - 1} \over {2 + {1 \over {{n^3}}}}} = - {1 \over 2} \cr  & \lim {{{n^2} + n} \over { - 2n - {n^2}}} = \lim {{1 + {1 \over n}} \over { - {2 \over n} - 1}}=-1 \cr  & \lim {{{n^3}} \over {{n^2} + 3}} = + \infty \cr}$

Chọn C

b.

$\eqalign{ & \lim {{{n^2} - 3n + 2} \over {{n^2} + n}} = \lim {{1 - {3 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} \over {1 + {1 \over n}}} = 1 \cr  & \lim {{{n^3} + 2n - 1} \over {n - 2{n^3}}} = \lim {{1 + {2 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}} \over {{1 \over {{n^2}}} - 2}} = - {1 \over 2} \cr  & \lim {{2{n^2} - 3n} \over {{n^3} + 3n}} = \lim {{{2 \over n} - {3 \over {{n^2}}}} \over {1 + {3 \over {{n^2}}}}} = 0 \cr  & \lim {{{n^2} - n + 1} \over {2n - 1}} = \lim {{1 - {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} \over {{2 \over n} - {1 \over {{n^2}}}}} = + \infty \cr}$

Chọn D

c.

$\eqalign{ & \lim {{{2^n} + 1} \over {{{3.2}^n} - {3^n}}} = \lim {{{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \over {3.{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 1}} = 0 \cr  & \lim {{{2^n} + 3} \over {1 - {2^n}}} = \lim {{1 + {3 \over {{2^n}}}} \over {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n} - 1}} = - 1 \cr  & \lim {{1 - {n^3}} \over {{n^2} + 2n}} = - \infty \cr  & \lim {{\left( {2n + 1} \right){{\left( {n - 3} \right)}^2}} \over {n - 2{n^3}}} = - 1 \cr}$

Chọn A

Câu 67

Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây :

a.$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + 2}}$ là :

A. 2

B. 1

C. -2

D.  $- {3 \over 2}$

b.$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {{{{x^2}} \over {{x^3} - x - 6}}}$ là :

A.  ${1 \over 2}$

B. 2

C. 3

D.  ${{\sqrt 2 } \over 2}$

c.$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} {{{x^2} + 3x - 4} \over {{x^2} + 4x}}$

 là :

A.  ${5 \over 4}$

B. 1

C.  $- {5 \over 4}$

D. -1

Lời giải chi tiết:

a.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + 2}} = {{1 - 3} \over { - 1 + 2}} = - 2$

Chọn C

b.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {{{{x^2}} \over {{x^3} - x - 6}}} = \sqrt {{9 \over {27 - 3 - 6}}} = {{\sqrt 2 } \over 2}$

Chọn D

c.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} {{{x^2} + 3x - 4} \over {{x^2} + 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)} \over {x\left( {x + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} {{x - 1} \over x} = {5 \over 4}$

Chọn A.

Câu 68

Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây :

a.$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} - 3} \over {{x^6} + 5{x^5}}}$ là :

A. 2

B. 0

C.  $- {3 \over 5}$

D. -3

b.$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 3{x^5} + 7{x^3} - 11} \over {{x^5} + {x^4} - 3x}}$ là :

A. 0

B. -3

C. 3

D. -∞

c.$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2{x^5} + {x^4} - 3} \over {3{x^2} - 7}}$ là :

A. −∞

B. -2

C. 0

D. +∞

Lời giải chi tiết:

a.  

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} - 3} \over {{x^6} + 5{x^5}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{2 \over {{x^4}}} - {3 \over {{x^6}}}} \over {1 + {5 \over x}}} = 0$

Chọn B

b.  

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 3{x^5} + 7{x^3} - 11} \over {{x^5} + {x^4} - 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 3 + {7 \over {{x^2}}} - {{11} \over {{x^5}}}} \over {1 + {1 \over x} - {3 \over {{x^4}}}}} = - 3$

Chọn B

c.  

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2{x^5} + {x^4} - 3} \over {3{x^2} - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2 + {1 \over x} - {3 \over {{x^5}}}} \over {{3 \over {{x^3}}} - {7 \over {{x^5}}}}} = + \infty$

Chọn D

Câu 69

Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây

a.$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }}$ là :

A. 1

B. -1

C. 0

D. +∞

b.$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {1 - x} - 1} \over x}$ là :

A.  ${1 \over 2}$

B.  $-{1 \over 2}$

C. +∞

D. 0

c.$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{2x - 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ là :

A. 2

B. -1

C. +∞

D. −∞

d.$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + x} \over {{x^2} + 3x + 2}}$ là

A. 2

B.  ${2 \over 3}$

C. -1

D. 0

Lời giải chi tiết:

a.  

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {1 \over x}} \over {\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} }} = 1$

Chọn A

b.  

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {1 - x} - 1} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{ - x} \over {x\left( {\sqrt {1 - x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{ - 1} \over {\sqrt {1 - x} + 1}} = - {1 \over 2}$

Chọn B

c.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{2x - 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = + \infty$

Chọn C

d.  

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + x} \over {{x^2} + 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{x\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {x \over {x + 2}} = - 1$

Chọn C

Câu 70

a. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là -1 ?

A.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} + x - 1} \over {3x + {x^2}}}$

B.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 3} \over {{x^2} - 5x}}$

C.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - {x^2} + 3} \over {5{x^2} - {x^3}}}$

D.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} - 1} \over {x + 1}}$

b. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?

A.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - 1} \over {{x^3} - 1}}$

B.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{2x + 5} \over {x + 10}}$

C.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{x^2} - 1} \over {{x^2} - 3x + 2}}$

D.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)$

c. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào không tồn tại ?

A.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} + 1}}$

B.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos x$

C.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x \over {\sqrt {x + 1} }}$

D.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {x \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

Lời giải chi tiết:

a.

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} + x - 1} \over {3x + {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2 + {1 \over x} - {1 \over {{x^2}}}} \over {{3 \over x} + 1}} = 2 \cr  & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 3} \over {{x^2} - 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{2 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} \over {1 - {5 \over x}}} = 0 \cr  & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - {x^2} + 3} \over {5{x^2} - {x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {1 \over x} + {3 \over {{x^3}}}} \over {{5 \over x} - 1}} = - 1 \cr  & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} - 1} \over {x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - 1} \right) = - \infty \cr}$

Chọn C

b.

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - 1} \over {{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {1 \over {{x^2} + x + 1}} = {1 \over 3} \cr  & \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{2x + 5} \over {x + 10}} = {1 \over 8} \cr  & \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{x^2} - 1} \over {{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x + 1} \over {x - 2}} = - 2 \cr  & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 \cr}$

Chọn D

c.

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} + 1}} = 0 \cr  & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x \over {\sqrt {x + 1} }} = 0 \cr  & \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {x \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = - \infty \cr}$

Không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos x$ (chọn 2 dãy  ${x_n} =  2n\pi$ và $x{'_n} = {\pi \over 2} + 2n\pi$;$\;\mathop {\lim }\limits\cos x{'_n} = 0$;$\;\mathop {\lim }\limits\cos x{_n} = 1$)

Chọn B.

Câu 71

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

Hàm số

$f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2}} \over x}\,\text{ với }\,x < 1,x \ne 0} \cr {0\,\text{ với }\,x = 0} \cr {\sqrt x \,\text{ với }\,x \ge 1} \cr} } \right.$

A. Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x thuộc đoạn [0 ; 1]

B. Liên tục tại mọi điểm thuộc $\mathbb R$.

C. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0

D. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định $D =\mathbb R$

f liên tục trên  $\left( { - \infty ;0} \right);\left( {0;1} \right)\,va\,\left( {1; + \infty } \right)$

Tại x = 0  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2}} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0 = f\left( 0 \right)$

Suy ra f liên tục tại x = 0

Tại x = 1  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2}} \over x} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt x = 1 = f\left( 1 \right)$

Vậy f liên tục tại $x = 1$ nên f liên tục tại mọi điểm thuộc $\mathbb R$.

Chọn B

Loigiaihay.com