Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mp(P), cạnh AB và AC lần lượt tạo với mp(P) các góc β và γ. Gọi α là góc tạo bởi mp(P) và mp(ABC). Chứng minh rằng \({\sin ^2}\alpha  = {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

Kẻ AH ⊥ mp(P) và AI ⊥ BC.

Khi đó HB là hình chiếu của AB trên (P) nên góc giữa AB và (P) bằng góc giữa AB và HB hay \(\beta  = \widehat {ABH}\)

HC là hình chiếu của AC trên (P) nên góc giữa AC và (P) bằng góc giữa AC và HC hay \(\gamma  = \widehat {ACH}\)

Lại có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
AI \bot BC\\
AH \bot BC\left( {AH \bot \left( P \right)} \right)
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow BC \bot \left( {AIH} \right) \Rightarrow BC \bot HI\)

Mà \(BC \bot AI\) và \(\left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = BC\) nên góc giữa (ABC) và (P) bằng góc giữa AI và HI hay \(\alpha  = \widehat {AIH}.\) (do \(\widehat {AIH}<90^0\)).

Vì ΔABC vuông ở A nên :

\(\eqalign{  & {1 \over {A{I^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {A{C^2}}}  \cr  &  \Rightarrow {{A{H^2}} \over {A{I^2}}} = {{A{H^2}} \over {A{B^2}}} + {{A{H^2}} \over {A{C^2}}}  \cr  & hay\,\,{\sin ^2}\alpha  = {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma  \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.