Bài 4.21 trang 114 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) Hai mặt phẳng (BDA') và (B'D'C) song song với nhau.

b) Đường chéo AC' đi qua các trọng tâm G₁ và G₂ của hai tam giác BDA' và B'D'C.

c) G₁và G₂ chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Nếu mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

b) Trọng tâm là giao điểm của các đường trung tuyến.

c) Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh bằng 2/3 đường trung tuyến tương ứng của đỉnh đó.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: BB' // DD' (cùng // CC') và BB' = DD' (cùng = CC') nên BB'D'D là hình bình hành

Suy ra BD // B'D'. Nên BD // (B'D'C) (1)

BC // A'D' (cùng // AD) và BC = A'D' (cùng = AD) nên BCD'A' là hình bình hành

Suy ra A'B // CD'. Nên A'B // (B'D'C) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (BDA') song song với (B'D'C)

b) Gọi O, O' lần lượt là giao điểm của AC và BD, A'C' và B'D'. Suy ra O, O' là trung điểm của AC, A'C'

Gọi I là giao điểm của AC' và A'C

AA' // CC' (cùng // BB') và AA' = CC' (cùng = BB') nên ACC'A' là hình bình hành. Suy ra I là trung điểm của AC' và A'C

Nên AI và A'O là trung tuyến của tam giác AA'C

Mà G₁là trọng tâm tam giác BDA'. Suy ra G₁ là giao điểm của AI và A'O

Tương tự, G₂là giao điểm của CO' và C'I

G₁ thuộc AI, G₂ thuộc CI nên G₁ và G₂ đều thuộc AC'.

c) G₁ và G₂ là trọng tâm của hai tam giác BDA' và B'D'C nên \(A{G_1} = \frac{2}{3}AI,{G_1}I = \frac{1}{3}AI\) và \(C'{G_2} = \frac{2}{3}C'I,{G_2}I = \frac{1}{3}CI\)

Ta có: \({G_1}I + {G_2}I = \frac{1}{3}AI + \frac{1}{3}CI = \frac{1}{3}AI + \frac{1}{3}AI = \frac{2}{3}AI\)

Suy ra AG₁ = G₁G₂ = C'G₂(cùng = \(\frac{2}{3}AI\))

Vậy G₁và G₂ chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 4.19 trang 114 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Sau khi gắn kệ treo tường bằng gỗ (Hình 4.87), bạn Nam chuẩn bị đặt đồ trang trí lên nhưng lại lo lắng kệ bị nghiêng, các đồ đạc sẽ bị rơi vỡ. Bạn Bình đề xuất với bạn Nam:
Bài 4.18 trang 114 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD.
Bài 4.17 trang 114 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy lớn là AD, AD = 2BC. Gọi I, K, L lần lượt là trung điểm của đoạn AD, SA, SD. Chứng minh rằng (SAB) // (ILC) và (SCD) // (BIK).
Giải mục 4 trang 112, 113, 114 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hai mặt phẳng song song \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha'}\right)\). Trên \(\left( \alpha \right)\), lấy tam giác ABC. Qua các đỉnh A, B, C, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt \(\left( {\alpha '} \right)\) lần lượt tại A, B, C. Các tứ giác ABB′A′, BCC′B′, ACC′A′ là hình gì? Hãy nhận xét về hai tam giác ABC và A′B′C′.
Giải mục 3 trang 110, 111 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Cho ba mặt phẳng dôi một song song (P), (Q), (R) cắt hai đường thẳng d, d' lần lượt tại A, B, C và A', B', C'. Gọi B1, là giao điểm của đường thẳng AC' và mặt phẳng (Q). Tìm mối liên hệ giữa các tỉ số \(\frac{{AB}}{{BC}}\) và \(\frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C}}\); \(\frac{{A'}{B'}}{{B'}{C'}}\) và \(\frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C}}\); \(\frac{{AB}}{{BC}}\) và \(\frac{{A'}{B'}}{{B'}{C'}}\).
Giải mục 2 trang 107, 108, 109, 110 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\). Biết rằng hai đường thẳng a và b nằm trong \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(a\,{\rm{//}}\left( \beta \right)\) và \(b\,{\rm{//}}\left( \beta \right)\).
Giải mục 1 trang 106, 107 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Xét hai bậc thang liên tiếp của một cầu thang ở Hình 4.66. Xem hai bề mặt bậc thang là hình ảnh của hai mặt phẳng (P1), (P2). Hãy nhận xét về số điểm chung của mặt phẳng (P1) và (P2).
Lý thuyết Hai mặt phẳng song song - SGK Toán 11 Cùng khám phá
I. Hai mặt phẳng song song trong không gian