Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Bài 3 trang 53 SGK Hình học 11


Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Đề bài

Cho ba đường thẳng \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi \(I = {d_1} \cap {d_2}\), chứng minh \(I \in {d_3}\).

Lời giải chi tiết

Gọi \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) là ba đường thẳng đã cho.

Gọi \(I =d_1\cap d_2\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in {d_1}\\
I \in {d_2}
\end{array} \right.\)

Ta chứng minh \(I ∈ d_3\). Thật vậy,

Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d_1,d_3\).

\((\gamma)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d_2,d_3\).

Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và \((\gamma)\) phân biệt.

Ngoài ra 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{d_3} \subset \left( \beta \right)\\
{d_3} \subset \left( \gamma \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}\)

\(I ∈ d_1\subset \left( \beta \right) \Rightarrow  I ∈ (β) = (d_1,d_3)\)

\(I ∈ d_2\subset \left( \gamma \right) \Rightarrow I ∈ (\gamma) = (d_2,d_3)\)

Từ đó suy ra, \(I ∈(\beta ) \cap (\gamma )=d_3\).

Cách khác:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \({d_{1,}}{d_2}\)

Gọi \(M = {d_3}\; \cap {\rm{ }}{d_1}\;;{\rm{ }}N{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_3}\; \cap {\rm{ }}{d_2}\). Giả sử \(M \ne {\rm{ }}N\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
M\; \in \;{d_{1\;}} \subset \;\left( P \right)\; \Rightarrow \;M\; \in \;\left( P \right)\\
N\; \in \;{d_2}\; \subset \;\left( P \right)\; \Rightarrow \;N\; \in \;\left( P \right)\\
M,N \in {d_3}
\end{array} \right.\quad \\
\Rightarrow {d_3} \equiv MN \subset (P) 
\end{array}\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}{d_1};{\rm{ }}{d_2};{\rm{ }}{d_3}\;\) cùng thuộc mặt phẳng \((P)\) (trái với giả thiết \({d_1};{\rm{ }}{d_2};{\rm{ }}{d_3}\;\) không đồng phẳng).

\( \Rightarrow\) Giả sử sai.

Vậy \(M \equiv {\rm{ }}N\) và \({\rm{ }}{d_1};{d_2};{d_3}\) đồng quy tại \(M\)

Vậy \({\rm{ }}{d_1};{d_2};{d_3}\) đồng quy.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 40 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua