Bài 1 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 11


Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:

LG a

\(u_n= 5 - 2n\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa cấp số cộng:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Ta chứng minh \({u_{n + 1}} - {u_n} = const\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_1} = 5 - 2.1 = 3\)

Với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) ta có: 

\({u_{n + 1}} - {u_n} = 5 - 2\left( {n + 1} \right) - \left( {5 - 2n} \right) \)

\(= 5 - 2n - 2 - 5 + 2n = -2\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} - 2 ,\forall n \in {N^*}\)

Vậy dãy số là cấp số cộng có \(u_1= 3\) và công sai \(d = -2\).

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

LG b

\(u_n=  \dfrac{n}{2}- 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_1} = \frac{1}{2} - 1 =  - \frac{1}{2}\)
Với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) ta có:
\(u_{n+1}-u_n=  \dfrac{n+1}{2} - 1 - ( \dfrac{n}{2}- 1) \) \( = \frac{{n + 1}}{2} - 1 - \frac{n}{2} + 1 = \frac{{n + 1 - n}}{2}\) \(= \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{2},\forall n \in {N^*}\)
Vậy dãy số là cấp số cộng với \(u_1= - \dfrac{1}{2}\) và \(d =  \dfrac{1}{2}\).

LG c

\(u_n= 3^n\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {3^{n + 1}} - {3^n} \) \(= {3^n}\left( {3 - 1} \right) = {2.3^n}\) không là hằng số (phụ thuộc \(n\)).

Vậy dãy số không phải là cấp số cộng.

Chú ý:

Cách giải thích khác:

\({u_n}\; = {\rm{ }}{3^n}\; \Rightarrow \;{u_1}\; = {\rm{ }}3\)

giả sử \(n \ge 1\), xét hiệu sau:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_{n + 1}}\;-{\rm{ }}{u_n}\; = {\rm{ }}{3^{n + 1}}\;-{\rm{ }}{3^n}\; = {\rm{ }}{3^n}\;.{\rm{ }}3{\rm{ }}-{\rm{ }}{3^n}\; = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){{.3}^n}\; = {\rm{ }}{{2.3}^n}}\\
{\text{Và } \, {\rm{ }}{u_n}\;-{\rm{ }}{u_{n - 1}}\; = {\rm{ }}{3^n}\;-{\rm{ }}{3^{n - 1}}\; = {\rm{ }}{{3.3}^{n - 1}}\; - {\rm{ }}{3^{n - 1}}\; = {\rm{ }}\left( {3 - {\rm{ }}1} \right){{.3}^{n - 1}}\; = {\rm{ }}{{2.3}^{n - 1}}}\\
{ \Rightarrow \;{u_{n + 1}}\;-{\rm{ }}{u_n}\; \ne {\rm{ }}{u_n}\;-{\rm{ }}{u_{n--{\rm{ }}1}}\;(\text{Vì} \, {\rm{ }}{3^n}\; \ne {\rm{ }}{3^{n - 1}},\;\forall \;n{\rm{ }})}
\end{array}\)

\( \Rightarrow \;({u_n})\) không phải là cấp số cộng.

LG d

\(u_n=  \dfrac{7-3n}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_1} = \frac{{7 - 3.1}}{2} = 2\)
Với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{7 - 3\left( {n + 1} \right)}}{2} - \dfrac{{7 - 3n}}{2} \) \(= \dfrac{{7 - 3n - 3 - 7 + 3n}}{2} =  - \dfrac{3}{2}\)
Vậy dãy số là cấp số cộng có \(u_1 = 2\) và \(d =  -\dfrac{3}{2}\).
 Loigiaihay.com

Bình chọn:
4.5 trên 60 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.