Giải bài 6 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Chứng minh các đẳng thức sau: a) ${\sin ^2}{605^0} + {\sin ^2}{1645^0} + {\cot ^2}{25^0} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{{65}^0}}}$ ; b) $\frac{{\sin {{530}^0}}}{{1 + \sin {{640}^0}}} = \frac{1}{{\sin {{10}^0}}} + \cot {10^0}$

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\sin ^2}{605^0} + {\sin ^2}{1645^0} + {\cot ^2}{25^0} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{{65}^0}}}$ ;

b) $\frac{{\sin {{530}^0}}}{{1 + \sin {{640}^0}}} = \frac{1}{{\sin {{10}^0}}} + \cot {10^0}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt:

a) $\sin \left( {{{360}^0} + \alpha } \right) = \sin \alpha$ , $\sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \alpha$ , $\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha$ , $\sin \left( {{{180}^0} + \alpha } \right) = - \sin \alpha$ , $\cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \tan \alpha$

b) $\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha$ , $\sin \left( {{{360}^0} + \alpha } \right) = \sin \alpha$ , $\sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \cos \alpha$

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\sin {605^0}$ $= \sin \left( {{{2.360}^0} - {{115}^0}} \right)$ $= \sin \left( { - {{115}^0}} \right)$ $= - \sin \left( {{{180}^0} - {{65}^0}} \right)$ $= - \sin {65^0}$

$\sin {1645^0}$ $= \sin \left( {{{4.360}^0} + {{180}^0} + {{25}^0}} \right)$ $= - \sin {25^0}$ $= - \sin \left( {{{90}^0} - {{65}^0}} \right)$ $= - \cos {65^0}$

$\cot {25^0}$ $= \cot \left( {{{90}^0} - {{65}^0}} \right)$ $= \tan {65^0}$

Do đó, ${\sin ^2}{605^0} + {\sin ^2}{1645^0} + {\cot ^2}{25^0}$ $= {\sin ^2}{65^0} + {\cos ^2}{65^0} + {\tan ^2}{65^0}$

$= 1 + {\tan ^2}{65^0}$ $= \frac{1}{{{{\cos }^2}{{65}^0}}}$

b) Ta có: $\sin {530^0}$ $= \sin \left( {{{3.180}^0} - {{10}^0}} \right)$ $= \sin {10^0}$ ,

$\sin {640^0}$ $= \sin \left( {{{4.180}^0} - {{80}^0}} \right)$ $= - \sin {80^0}$ $= - \sin \left( {{{90}^0} - {{10}^0}} \right)$ $= - \cos {10^0}$

Do đó, $\frac{{\sin {{530}^0}}}{{1 + \sin {{640}^0}}}$ $= \frac{{\sin {{10}^0}}}{{1 - \cos {{10}^0}}}$ $= \frac{{{{\sin }^2}{{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)}}$

$= \frac{{1 - {{\cos }^2}{{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)}}$ $= \frac{{\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)\left( {1 + \cos {{10}^0}} \right)}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)}}$ $= \frac{{1 + \cos {{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}}}$ $= \frac{1}{{\sin {{10}^0}}} + \cot {10^0}$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 7 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Rút gọn các biểu thức sau: a) $\cos \left( {\alpha + \pi } \right) + \sin \left( {\alpha + \frac{{5\pi }}{2}} \right) - \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)\tan \left( {\pi - \alpha } \right)$ .
Giải bài 8 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $\sin {17^0}\sin {197^0} + \sin {73^0}\cos {163^0}$ ; b) $\frac{1}{{1 - \tan {{145}^0}}} + \frac{1}{{1 + \tan {{55}^0}}}$ .
Giải bài 9 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
a) Cho $\tan \alpha + \cot \alpha = 2$ . Tính giá của trị biểu thức ${\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha$ . b) Cho $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{4}$ . Tính giá của trị biểu thức $\sin \alpha .\cos \alpha$ . c) Cho $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}$ . Tính giá của trị biểu thức ${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha$ .
Giải bài 10 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho $\tan x = 2$ . Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{5\sin x + 2\cos x}}$ ; b) $\frac{{{{\sin }^3}x + 2{{\cos }^3}x}}{{2\sin x + 3\cos x}}$ .
Giải bài 11 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Độ dài của ngày từ lúc Mặt Trời mọc đến lúc Mặt Trời lặn ở một thành phố X trong ngày thứ t của năm được tính xấp xỉ bởi công thức
Giải bài 5 trang 14 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$ ; b) $\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}$ ;
Giải bài 4 trang 14 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Biết $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ . Tính giá trị của các biểu thức sau:
Giải bài 3 trang 14 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ . Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau: a) $\cos \left( {\alpha + \pi } \right)$ ; b) $\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)$ ; c) $\tan \left( {\alpha + \frac{{3\pi }}{2}} \right)$ ; d) $\cot \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)$ ; e) $\cos \left( {2\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)$ ; g) $\sin \left( {\pi - 2\alpha } \right)$ .
Giải bài 2 trang 14 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$ (hoặc từ ${0^0}$ đến ${45^0}$ ):
Giải bài 1 trang 14 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ , nếu: a) $\sin \alpha = - \frac{4}{5}$ và $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ ; b) $\cos \alpha = \frac{{11}}{{61}}$ và $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ ; c) $\tan \alpha = - \frac{{15}}{8}$ và $- {90^0} < \alpha < {90^0}$ ; d) $\cot \alpha = - 2,4$ và $- {180^0} < \alpha < {0^0}$ .

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.