Giải bài 3 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Giải các phương trình lượng giác sau: a) $\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = 0$ ; b) $2{\cos ^2}x + 5\sin x - 4 = 0$ ;

Đề bài

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = 0$ ;

b) $2{\cos ^2}x + 5\sin x - 4 = 0$ ;

c) $\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) + 2{\sin ^2}x - 1 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải:

a, c) Phương trình $\cos x = m$ có nghiệm khi $\left| m \right| \le 1$ . Khi đó, nghiệm của phương trình là $x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ ; $x = - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ với $\alpha$ là góc thuộc $\left[ {0;\pi } \right]$ sao cho $\cos \alpha = m$ .

Đặc biệt: $\cos u = \cos v \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ hoặc $u = - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\cos u = \cos {a^0} \Leftrightarrow u = {a^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ hoặc $u = - {a^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi $\left| m \right| \le 1$ . Khi đó, nghiệm của phương trình là $x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ ; $x = \pi - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ với $\alpha$ là góc thuộc $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ sao cho $\sin \alpha = m$ .

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a) $\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 2\cos \frac{\pi }{4}\cos x = 0$ $\Leftrightarrow \cos x = 0$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) $2{\cos ^2}x + 5\sin x - 4 = 0$ $\Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 5\sin x - 4 = 0$ $\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sin x - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 2\sin x - 1 = 0$ (do $\sin x - 2 < 0$ với mọi số thực x)

$\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

c) $\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) + 2{\sin ^2}x - 1 = 0$ $\Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) - \cos 2x = 0$ $\Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos 2x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{\pi }{4} = 2x + k2\pi \\3x - \frac{\pi }{4} = - 2x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k2\pi }}{5}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 4 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm tập xác định của hàm số lượng giác $y = \frac{{\sin x - 2\cos 3x}}{{\sin x + \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}$
Giải bài 5 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng $\left( { - \pi ;\pi } \right)$ . a) $\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1$ ;
Giải bài 6 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị các hàm số sau: a) $y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)$ và $y = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$ ;
Giải bài 7 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số $y = \sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)$ với trục hoành.
Giải bài 8 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Theo định luật khúc xạ ánh sáng, khi một tia sáng được chiếu tới mặt phân cách giữa hai môi trường trong suốt không đồng chất thì tỉ số $\frac{{\sin i}}{{\sin r}}$ , với i là góc tới và r là góc khúc xạ, là một hằng số phụ thuộc vào chiết suất của hai môi trường.
Giải bài 9 trang 32 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Một quả bóng được ném xiên một góc $\alpha \left( {{0^0} \le \alpha \le {{90}^0}} \right)$ từ mặt đất với tốc độ ${v_0}\left( {m/s} \right)$ .
Giải bài 10 trang 32 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Chiều cao h(m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức (hleft( t right) = 30 + 20sin left( {frac{pi }{{25}}t + frac{pi }{3}} right)).
Giải bài 2 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải các phương trình lượng giác sau: a) $\cos \left( {2x + {{10}^0}} \right) = \sin \left( {{{50}^0} - x} \right)$ ; b) $8{\sin ^3}x + 1 = 0$ ;
Giải bài 1 trang 30 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải các phương trình lượng giác sau: a) $\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ ; b) $\cos \left( {2x - {{30}^0}} \right) = - 1$ ;

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.