Giải SBT đại số, hình học toán lớp 9 tập 1, tập 2 Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam gi..

Bài 20 trang 105 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 20 trang 105 sách bài tập toán 9. Cho tam giác vuông ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kể MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Đề bài

Cho tam giác vuông \(ABC\). Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ \(MD, ME, MF\) lần lượt vuông góc với các cạnh \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng: 

\(B{D^2} + C{E^2} + A{F^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.\) 

 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Vẽ hình phụ tạo thành các tam giác vuông (với bài toán này ta nối các điểm tạo thành các cạnh \(AM, BM, CM\)).

- Xét các tam giác vuông, sử dụng định lý Pytago tạo thành các đẳng thức phù hợp. 

- Tìm mối liên hệ giữa các đẳng thức vừa được tạo thành và đẳng thức cần được chứng minh của bài toán.

Sử dụng: Định lý Pytago: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Lời giải chi tiết

Nối \(AM, CM, BM\) ta được hình dưới đây:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(BDM\), ta có: 

\(B{M^2} = B{D^2} + D{M^2}\)\( \Rightarrow B{D^2} = B{M^2} - D{M^2}\)   (1)

Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vuông \(CEM\), ta có:

\(C{M^2} = C{E^2} + E{M^2}\)\( \Rightarrow C{E^2} = C{M^2} - E{M^2}\)   (2)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(AFM\), ta có:

\(A{M^2}{\rm{ = A}}{{\rm{F}}^2} + F{M^2}\)\( \Rightarrow A{F^2} = A{M^2} - F{M^2}\)    (3)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

\(B{D^2} + C{E^2} + A{F^2}\)

\(= B{M^2} - D{M^2} + C{M^2}\)\( - E{M^2} + A{M^2} - F{M^2}\)    (4)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(BFM\), ta có:

\(B{M^2} = B{F^2} + F{M^2}\)        (5)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(CDM\), ta có:

\(C{M^2} = C{D^2} + D{M^2}\)          (6)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(AEM\), ta có: 

\(A{M^2} = A{E^2} + E{M^2}\)            (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

\(\eqalign{
& B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} \cr 
& = B{F^2} + F{M^2} - D{M^2} + C{D^2} \cr & + D{M^2}- E{M^2} + A{E^2} + E{M^2} - F{M^2} \cr 
& = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2} \cr} \)

Vậy \(B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.\) 

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 13 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com, cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua