Bài 1.54 trang 41 SBT đại số và giải tích 11


Đề bài

Tập giá trị của hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2\) là

A. \(\left[{2;5}\right]\)

B. \(\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]\)

C. \(\left[{\dfrac{4}{3};3+\sqrt{3}}\right]\)

D. \(\left[{\dfrac{5}{4};4}\right]\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tập giá trị của hàm số được giới hạn bởi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đó nên mục tiêu của bài là tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2\).

- Sử dụng hàm số \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\).

- Đặt \(t=\sin x\) khi đó \(-1\le t\le 1\).

- Cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số dạng \(y=ax^2+bx+c\) là thêm bớt để hàm số có chứa hằng đẳng thức, cụ thể như sau

Hàm số \(y=ax^2+bx+c\)

\(=a(x^2+\dfrac{b}{a}x)+c\)

\(=a\left[{x^2+2.x.\dfrac{b}{2a}+{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2}\right]-\)

\(a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

\(=a{\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

Do \({\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2 \ge 0\) khi đó

\(y\ge -a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=ax^2+bx+c\) là \(-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\) đạt được khi \(x=-\dfrac{b}{2a}\).

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

Vì \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

Đặt \(u=\sin x\) khi đó \(-1\le u\le 1\) 

Hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2 \)

\(\Leftrightarrow y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)

- Tìm giá trị lớn nhất

Ta có \(-1\le u\le 1\) nên \(u^2\le 1\) và \(u\le1\)

Nên khi đó \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\le 1+\sqrt{3}.1+2\)

\(=3+\sqrt{3}\)

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất là \(3+\sqrt{3}\) tại \(u=1\)\(\Leftrightarrow \sin x=1\).

- Tìm giá trị nhỏ nhất

Hàm số \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)

\(=\left[{u^2+2u\dfrac{\sqrt{3}}{2}+{\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}\right]-\)

\({\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+2\)

\(={\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+\dfrac{5}{4}\)

Do \({\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2 \ge 0\) khi đó

\(y\ge \dfrac{5}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\dfrac{5}{4}\) đạt được khi \(u=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]\).

Cách trắc nghiệm:

Với sinx = -1 thì y = 3 - √3 < 4/3 nên các phương án A và C bị loại.

Với sinx = 1 thì y = 3 + √3 > 4 nên phương án D bị loại.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.