Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các ve..

Câu 14 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 14 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P. Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho

\(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BN}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BC},\)

\(\overrightarrow {AQ}  = {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} ,\overrightarrow {DP}  = k\overrightarrow {DC}. \)

Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Cách 1

Từ \(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} \)  ta có \(\overrightarrow {BM}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BA} \) , mặt khác \(\overrightarrow {BN}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BC} \) nên MN // AC.

Nếu có k để các điểm M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng thì mp(MNQ) cắt mp(ACD) theo giao tuyến PQ nên PQ // AC.

Mặt khác \(\overrightarrow {AQ}  = {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} \) nên \(\overrightarrow {DP}  = {1 \over 2}\overrightarrow {DC} \).

Vậy \(k = {1 \over 2}\) thì các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.

Cách 2:

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c \) .

Khi đó \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow c  - \overrightarrow b ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b  - \overrightarrow a \).

Do \(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} \)

nên

$$\eqalign{
& \overrightarrow {AM} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right) = - {1 \over 3}\overrightarrow a + {1 \over 3}\overrightarrow b \cr 
& \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + {2 \over 3}\left( {\overrightarrow c - \overrightarrow b } \right) \cr 
& = - \overrightarrow a + {1 \over 3}\overrightarrow b + {2 \over 3}\overrightarrow c \cr 
& \overrightarrow {AP} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {DP} = - \overrightarrow a + k\overrightarrow {DC} = - \overrightarrow a + k\overrightarrow c \cr 
& \overrightarrow {AQ} = - {1 \over 2}\overrightarrow a \cr} $$

Khi đó

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MN}  =  - {2 \over 3}\overrightarrow a  + {2 \over 3}\overrightarrow c   \cr  & \overrightarrow {MP}  =  - {2 \over 3}\overrightarrow a  - {1 \over 3}\overrightarrow b  + k\overrightarrow c   \cr  & \overrightarrow {MQ}  =  - {1 \over 6}\overrightarrow a  - {1 \over 3}\overrightarrow b  \cr} \)

Các điểm M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có số x, y sao cho

\(\eqalign{& \overrightarrow {MP} = x\overrightarrow {MN} + y\overrightarrow {MQ} \cr & \Leftrightarrow - {2 \over 3}\overrightarrow a - {1 \over 3}\overrightarrow b + k\overrightarrow c \cr & = - {2 \over 3}x\overrightarrow a + {2 \over 3}x\overrightarrow c - {1 \over 6}y\overrightarrow a - {1 \over 3}y\overrightarrow b \cr} \)

Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \)  không đồng phẳng nên điều đó tương đương với:

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{   - {2 \over 3}x - {1 \over 6}y =  - {2 \over 3} \hfill \cr   - {1 \over 3}y =  - {1 \over 3} \hfill \cr  {2 \over 3}x = k \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow y = 1,x = {3 \over 4},k = {1 \over 2} \cr} \)

Vậy khi \(k = {1 \over 2}\)  thì các điểm M, N, P, Q thuộc cùng một mặt phẳng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua