Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các ve..

Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng

\(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \)

\(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\)

Lời giải chi tiết

Trước hết, ta chứng minh

\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\)

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c \)

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DJ}   \cr  &  =  - {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + \overrightarrow {AD}  + {{\overrightarrow {DC} } \over 2}  \cr  &  =  - {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( {{{\overrightarrow c } \over 2}} \right)  \cr  &  = {{ - \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \over 2}  \cr  & {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {CD} ^2} + 4{\overrightarrow {IJ} ^2}  \cr  &  = {\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow c ^2} + {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \overrightarrow c } \right)^2}  \cr  &  = 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c  - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c   \cr  & {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BD} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2}  \cr  &  = {\left( {\overrightarrow c  - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\left( {\overrightarrow c  - \overrightarrow b } \right)^2} + {\overrightarrow a ^2}  \cr  &  = 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c  - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c  \cr} \)

Vậy, ta có:

\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\)

Tương tự, ta có:

\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\)

\(= B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} + 4H{K^2}\)

\( A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \)

\(= A{C^2} + B{D^2} + 4E{F^2} \)

Từ đó suy ra:

\(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2}\)

\(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 4 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua