Lý thuyết Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn Toán 12 Kết nối tri thức

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

- Nếu s = s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển đọng trên một đường thẳng thì v = s’(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật. Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a(t) = v’(t) = s’’(t)

- Nếu C = C(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm t, thì C’(t) là tốc độ phản ứng tức thời của chất đó tại thời điểm t

- Nếu P = P(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t, thì P’(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t

- Nếu C = C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời C’(x) của chi phí đó đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên

- Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C’(x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ x + 1

Ví dụ: Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là \(h(t) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\)

a) Tìm vận tốc của vật sau 2s

b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

Lời giải

a) Ta có: v = h’(t) = 24,5 – 9,8t (m/s)

Do đó v(2) = 24,5 – 9,8.2 = 4,9 (m/s)

b) Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = -4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại \(t = - \frac{b}{{2a}} = 2,5s\). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m)

c) Vật chạm đất khi h = 0, tức là \(2 + 24,5t - 4,9{t^2} = 0\) hay \(t \approx 5,08s\)

Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08) = 24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s)

Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyện động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn

2. Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản

Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa

Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng trong bài toán

Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số Q = Q(x)

Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q = Q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận

Ví dụ: Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất

Đổi 1 lít = 1000 cm³

Gọi r (cm) là bán kính đáy của hình trụ, h (cm) là chiều cao của hình trụ

Diện tích toàn phần của hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\)

Do thể tích của hình trụ là 1000 cm³nên ta có: \(V = \pi {r^2}h = 1000\) hay \(h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}}\)

Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + \frac{{2000}}{r},r > 0\)

Ta cần tìm r sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:

\(S' = 4\pi r - \frac{{2000}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2000}}{{{r^2}}};S' = 0 \Leftrightarrow \pi {r^3} = 500 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}}\)

BBT

Khi đó: \(h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}}\)

Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy \(r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}} \approx 5,42(cm)\) và chiều cao \(h = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}} \approx 10,84(cm)\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 1 trang 33, 34, 35 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tốc độ thay đổi của một đại lượng
Giải mục 2 trang 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tốc độ thay đổi của một đại lượng
Giải bài tập 1.26 trang 40 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là (y = {t^3} - 12t + 3,t ge 0). a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc. b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới? c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian (0 le t le 3). d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?
Giải bài tập 1.27 trang 41 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hóa nào đó là: \(C\left( x \right) = 23\;000 + 50x - 0,5{x^2} + 0,00175{x^3}\) a) Tìm hàm chi phí biên b) Tìm C’(100) và giải thích ý nghĩa của nó. c) So sánh C’(100) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101.
Giải bài tập 1.28 trang 41 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
Giải bài tập 1.29 trang 41 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức \(p = \frac{{354}}{{1 + 0,01x}},x \ge 0\), trong đó p là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và x là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán. a) Tìm công thức tính x như là hàm số của p. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(x = x\left( p \right)\). Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết: - Số lượng đơn vị