Lý thuyết Phân thức đại số SGK Toán 8 - Cánh diều

Phân thức đại số là gì?

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 8 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Khoa học tự nhiên

1. Khái niệm

Một phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng \(\frac{P}{Q}\), trong đó P, Q là những đa thức và Q khác đa thức 0.

P được gọi là tử thức (hay tử), Q được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Chú ý: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, mỗi số thực cũng là một phân thức đại số.

Ví dụ: \(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}};\frac{{ab}}{{a + b}};{x^2} + 3x + 2;\sqrt 2 \) là các phân thức đại số.

\(\sqrt x ;\sqrt[3]{x}\) không phải là phân thức vì \(\sqrt x ;\sqrt[3]{x}\) không phải là đa thức.

Hai phân thức bằng nhau

Ta nói hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) bằng nhau nếu A.D = B.C. Khi đó, ta viết

\(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\).

Ví dụ: Hai phân thức \(\frac{{x{y^2}}}{{xy + y}}\) và \(\frac{{xy}}{{x + 1}}\) bằng nhau.

2. Tính chất

Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

\(\frac{A}{B} = \frac{{A.C}}{{B.C}}\) (C là một đa thức khác đa thức không).

Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

\(\frac{A}{B} = \frac{{A:D}}{{B:D}}\) (D là một đa thức nhân tử chung).

Ví dụ: Để biến đổi phân thức \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}}\) thành \(\frac{{ - 1}}{{x + y}}\), ta chia cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}}\) cho y – x, khi đó \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}} = \frac{{ - (y - x)}}{{(y - x)(y + x)}} = \frac{{ - 1}}{{x + y}}\)

3. Rút gọn phân thức

Muốn rút gọn một phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)

Bước 2. Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ví dụ: \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}} = \frac{{ - (y - x)}}{{(y - x)(y + x)}} = \frac{{ - 1}}{{x + y}}\)

4. Quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức

Mẫu thức chung (MTC) chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

Tìm mẫu thức chung:

Bước 1. Phân tích mẫu của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử (nếu cần)

Bước 2. Chọn mẫu thức chung.

Quy đồng mẫu thức hai hay nhiều phân thức:

Bước 1. Phân tích mẫu của mỗi phân thức thành nhân tử rồi tìm MTC

Bước 2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu

Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\frac{1}{{{x^2} + x}}\) và \(\frac{1}{{{x^2} - x}}\)

MTC là:

Ta có: \(\left[ {x\left( {x + 1} \right)\left( {x-1} \right)} \right]:\left[ {x(x + 1)} \right] = x - 1;\,\,\left[ {x\left( {x + 1} \right)\left( {x-1} \right)} \right]:\left[ {x(x - 1)} \right] = x + 1\)

Khi đó: \(\frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x(x + 1)}} = \frac{{x - 1}}{{x(x + 1)(x - 1)}};\,\,\frac{1}{{{x^2} - x}} = \frac{1}{{x(x - 1)}} = \frac{{x + 1}}{{x(x - 1)(x + 1)}}\)

5. Điều kiện xác định, giá trị của phân thức đại số

Xác định điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\)

Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\) là điều kiện của biến để mẫu thức B khác 0.

Giá trị của phân thức đại số

Cho phân thức đại số \(\frac{A}{B}\). Giá trị của biểu thức \(\frac{A}{B}\) tại những giá trị cho trước của các biến để giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức \(\frac{A}{B}\) tại những giá trị cho trước của biến đó.

Ví dụ: Phân thức P = \(\frac{{x + 3}}{{x - 1}}\) xác định khi \(x - 1 \ne 0\)hay \(x \ne 1\)

Tại x = 3, \(P = \frac{{3 + 3}}{{3 - 1}} = \frac{6}{2} = 3\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.2 trên 5 phiếu

Bài tiếp theo

Giải Câu hỏi mở đầu trang 29 SGK Toán 8 – Cánh diều
Ta đã biết kết quả của phép chia số nguyên a cho số nguyên b khác 0 được gọi là phân số (dfrac{a}{b}). . Kết quả của phép chia đa thức P cho đa thức Q khác đa thức 0 cũng có thể được viết dưới dạng (dfrac{P}{Q}). Khi đó, biểu thức (dfrac{P}{Q}) được gọi là gì?
Giải mục 1 trang 29, 30, 31 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều
Cho biểu thức: (dfrac{{2{rm{x}} + 1}}{{x - 2}}) a) Biểu thức 2x +1 ở tử có phải là đa thức hay không? b) Biểu thức x – 2 ở mẫu có phải là đa thức khác đa thức 0 hay không?
Giải mục 2 trang 31, 32, 33, 34 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều
a) Tính số thích hợp vào
Giải mục 3 trang 34, 35, 36 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều
Cho phân thức: (dfrac{{2{{rm{x}}^2} - x + 1}}{{x - 2}}). Tìm giá trị của x sao cho mẫu: (x - 2 ne 0)
Giải bài 1 trang 37 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều
Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:
Giải bài 2 trang 37 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều
Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
Giải bài 3 trang 37 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều
Rút gọn mỗi phân thức sau:
Giải bài 4 trang 37 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều
Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:
Giải bài 5 trang 37 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều
Cho hình chữ nhật ABCD và MNPQ như hình 1 (các số đo trên hình tính theo đơn vị centimét). a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ. b) Tính giá trị của phân thức đó tại x = 2 và tại x = 5
Giải bài 6 trang 37 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều
Chị Hà mở một xưởng thủ công với số vốn đầu tư ban đầu (xây dựng nhà xưởng, mua máy móc,…) là 80 triệu đồng. Biết chi phí để sản xuất (tiền mua vật liệu, lương công nhân) của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng. Gọi x là số sản phẩm mà xưởng của chị Hà làm được. a) Viết phân thức biểu thị số tiền thực (đơn vị nghìn đồng) để tạo 1 sản phẩm theo x. b) Tính chi phí thực tế để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100; x = 1 000. Nhận xét về chi phí thực để tạo 1 sản phẩm nếu x ngày càng tăng.