Giải mục 1 trang 39, 40 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Hoạt động 1

Cho hai phân thức $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{{x + 1}}$.

a) Tìm đa thức thích hợp cho mỗi ô ?

$\frac{1}{x} = \frac{?}{{x\left( {x + 1} \right)}};$

$\frac{1}{{x + 1}} = \frac{?}{{x\left( {x + 1} \right)}}.$

b) Em có nhận xét gì về mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức trong câu a?

Phương pháp giải:

a) Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức này với mẫu của phân thức kia.

b) Dựa vào bài làm ý a.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $\frac{1}{x} = \frac{{\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{1}{{x + 1}} = \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)}}.$

b) Mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức trong câu a đều bằng $x\left( {x + 1} \right)$và chính là tích mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức.

Luyện tập 1

Tìm một mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}$ và $\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Ta phân tích mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.

Bước 2: Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích của các nhân tử bằng số của các mẫu thức ở bước 1

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy $27{x^2} - 9x = 9x\left( {3x - 1} \right)$ và $36{x^3} - 12{x^2} = 12{x^2}\left( {3x - 1} \right)$

Vậy mẫu thức chung của hai phân thức có thể là $36{x^2}\left( {3x - 1} \right)$

Hoạt động 2

Muốn quy đồng hai phân thức $\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}$ và $\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}$ nêu trong luyện tập 1 thì cần nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với đa thức nào?

Phương pháp giải:

Ta tìm mẫu thức chung:

Bước 1: Ta phân tích mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.

Bước 2: Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích của các nhân tử bằng số của các mẫu thức ở bước 1

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $27{x^2} - 9x = 9x\left( {3x - 1} \right)$; $36{x^3} - 12{x^2} = 12{x^2}\left( {3x - 1} \right)$

Vậy mẫu thức chung là: $36{x^2}\left( {3x - 1} \right)$

Để quy đồng hai phân thức $\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}$ và $\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}$ ta cần nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}$với $4x$ và nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}$với $3$

Luyện tập 2

Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{{x + 1}}{{4{x^3} - 8{x^2}}}$ và $\frac{{2x - 3}}{{6x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.

Phương pháp giải:

Ta tìm mẫu thức chung

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Hai phân thức có mẫu thức chung là $12{x^2}{\left( {x - 2} \right)^2}$

Ta có $\frac{{x + 1}}{{4{x^3} - 8{x^2}}} = \frac{{x + 1}}{{4{x^2}\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x + 1} \right).3.\left( {x - 2} \right)}}{{4{x^2}\left( {x - 2} \right).3.\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{3\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{12{x^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

$\frac{{2x - 3}}{{6x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2x - 3} \right).2x}}{{6x{{\left( {x - 2} \right)}^2}.2x}} = \frac{{2x\left( {2x - 3} \right)}}{{12{x^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$