Giải bài 8 trang 18 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) \(y = f\left( x \right) = {\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^x}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\);

b) \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{{3^x}}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số mũ \(y = {a^x}\) để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^x}\) có cơ số \(\frac{{\sqrt 5 }}{2} > 1\) nên đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;4} \right]} y = f\left( 4 \right) = {\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^4} = \frac{{25}}{{16}},\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;4} \right]} y = f\left( { - 1} \right) = {\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - 1}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{{3^x}}}\) có cơ số \(\frac{1}{3} < 1\) nên nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} y = f\left( { - 2} \right) = \frac{1}{{{3^{ - 2}}}} = 9,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} y = f\left( 2 \right) = \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{9}\)