Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và k..

Giải bài 7.17 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

a) Chứng minh rằng hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d b) Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABM

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 3;0} \right),B\left( {1; - 2} \right)\) và đường thẳng \(d:x + y - 1 = 0\)

a) Chứng minh rằng hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d

b) Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABM

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Thay từng điểm A, B vào đường thẳng d. Tích nhận được là số dương thì hai điểm nằm cùng phía với đường thẳng d. Tích nhận được là số âm thì hai đường thẳng nằm khác phía với đường thẳng d.

+ AB cố định, nên chu vi tam giác nhỏ nhất khi MA + MB nhỏ nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có \(MA + MB \ge MA' + MB \ge A'B\).

Dấu bằng xảy ra khi \(M = A'B \cap d\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\left( { - 3 + 0 - 1} \right)\left( {1 - 2 - 1} \right) = 8 > 0\) nên hai điểm A, B nằm cùng phía với đường thẳng d

b) AB cố định, nên chu vi tam giác nhỏ nhất khi MA + MB nhỏ nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có \(MA + MB \ge MA' + MB \ge A'B\).

Dấu bằng xảy ra khi \(M = A'B \cap d\)

+ Gọi điểm H là chân đường cao hạ từ A đến đường thẳng d, khi đó AH vuông góc với d \( \Rightarrow \overrightarrow {{v_{AH}}} = \overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AH}}} = \left( {1; - 1} \right)\)

+ Phương trình đường thẳng AH đi qua \(A\left( { - 3;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_{AH}}} = \left( {1; - 1} \right)\): \(AH:1\left( {x + 3} \right) - 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Rightarrow AH:x - y + 3 = 0\)

+ \(H = AH \cap d \Rightarrow H:\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - 1;2} \right)\)

+ Điểm A’ đối xứng với A qua d khi đó H là trung điểm của AA’

Suy ra \(A'\left( {2.\left( { - 1} \right) + 3;2.2 - 0} \right) \Rightarrow A'\left( {1;4} \right)\)

+ Viết phương trình đưởng thẳng A’B: \(\overrightarrow {A'B} = \left( {0;6} \right) = \left( {0;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {0;1} \right)\)

\(A'B:x - 1 = 0\)

+ \(A'B \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;0} \right)\)