Giải bài 6.32 trang 65 SGK Toán 8 - Cùng khám phá


Cho tam giác \(ABC\) có \(AH\) là đường cao và \(A{H^2} = BH.CH\). Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(AH\) là đường cao và \(A{H^2} = BH.CH\). Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(ABC\) đồng dạng với tam giác \(HBA\)

b) Tam giác \(ABC\) vuông tại A.

c) Cho \(BH = \frac{5}{{13}}\), Tính tỉ số chu vi và tỉ số diện tích của \(\Delta ABH\) và \(\Delta ABC\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} = BH.CH\\AH.AH = BH.CH\\\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}}\end{array}\)

Xét tam giác \(ABH\) và tam giác \(CAH\), ta có:

\(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}}\)

\(\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (do \(AH\) là đường cao)

=> \(\Delta ABH\)∽\(\Delta CAH\) (cạnh góc vuông-góc vuông)

b) Vì \(\Delta ABH\)∽\(\Delta CAH\), ta có tỉ lệ:

\(A{H^2} = BH.CH\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, suy ra tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\).

c) Ta có:

 \(\begin{array}{l}BH = \frac{5}{{13}}AB\\ \Rightarrow \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{5}{{13}}\end{array}\)

Dựa vào tỉ lệ trên ta có \(BH = 5;AB = 13\)

\( \Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}}  = 12\)

Chu vi của tam giác \(ABH\) là: \(AB + BH + HA = 13 + 5 + 12 = 30\)

Diện tích của tam giác \(ABH\) là: \(\frac{1}{2}AH.BH = \frac{1}{2}.12.5 = 30\)

Xét tam giác \(ABC\) và tam giác \(HBA\), ta có:

\(\widehat A = \widehat {BHA} = 90^\circ \)

\(\widehat B\) là góc chung

=> \(\Delta ABC\)∽\(\Delta HBA\) (góc nhọn-góc vuông)

Ta có tỉ lệ:

\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{HB}}{{AB}}\\\frac{{13}}{{BC}} = \frac{{12}}{{AC}} = \frac{5}{{13}}\\ \Rightarrow BC = 33,8;AC = 31,2\end{array}\)

Chu vi của tam giác \(ABC\) là: \(AB + BC + AC = 13 + 33,8 + 31,2 = 78\)

Diện tích của tam giác \(ABC\) là: \(\frac{1}{2}.AC.AB = \frac{1}{2}.31,2.13 = 202,8\)

Tỉ số chu vi của \(\Delta ABH\) và \(\Delta ABC\) là: \(\frac{{30}}{{78}} = \frac{5}{{13}}\)

Tỉ số diện tích của \(\Delta ABH\) và \(\Delta ABC\) là: \(\frac{{30}}{{202,8}} = \frac{{25}}{{169}}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí