Bài 42 trang 107 SBT toán 9 tập 2

Giải bài 42 trang 107 sách bài tập toán 9. Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P...

Đề bài

Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm \(P.\) Gọi các giao điểm khác \(P\) của hai trong ba đường tròn đó là \(A, B, C.\) Từ một điểm \(D\) (khác điểm \(P\)) trên đường tròn \((PBC)\) kẻ các tia \(DB, DC\) cắt các đường tròn \((PAB)\) và \((PAC)\) lần lượt tại \(M, N.\) Chứng minh ba điểm \(M, A, N\) thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng \(180^\circ.\)

+) Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu \( \widehat{ABD}+\widehat{DBC}=180^\circ\) thì \(A,B,C\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Gọi ba đường tròn tâm \(O_1,O_2,O_3.\)

\((O_1)\) cắt \((O_2)\) tại \(A;\) \((O_1)\) cắt \((O_3)\) tại \(B.\)

\((O_2)\) cắt \((O_3)\) tại \(C.\) Suy ra \(D\) là điểm nằm trên đường tròn \((O_3).\)

\(BD\) cắt \((O_1)\) tại \(M,\) \(DC\) cắt \((O_2)\) tại \(N.\)

Nối \(PA, PB, PC,\) \(MA, NA.\)

Ta có tứ giác \(APBM\) nội tiếp trong đường tròn \((O_1).\)

Nên \(\widehat {MAP} + \widehat {MBP} = 180^\circ \) (tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {MBP} + \widehat {PBD} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra: \(\widehat {MAP} = \widehat {PBD}\) \( (1)\)

Ta có: Tứ giác \(APCN\) nội tiếp trong đường tròn \((O_2)\)

Nên \(\widehat {NAP} + \widehat {NCP} = 180^\circ \) (tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {NCP} + \widehat {PCD} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra: \(\widehat {NAP} = \widehat {PCD}\) \( (2)\)

Tứ giác \(BPCD\) nội tiếp trong đường tròn \((O_3)\)

\( \Rightarrow \widehat {PBD} + \widehat {PCD} = 180^\circ \) (tính chất tứ giác nội tiếp) \((3)\)

Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat {MAP} + \widehat {NAP} = 180^\circ \)

Vậy ba điểm \(M, A, N\) thẳng hàng.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.5 trên 15 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 43 trang 107 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 43 trang 107 sách bài tập toán 9. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E...
Bài 7.1 phần bài tập bổ sung trang 107 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 7.1 phần bài tập bổ sung trang 107 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao AI, BK, CL của tam giác ấy...
Bài 7.2 phần bài tập bổ sung trang 107 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 7.2 phần bài tập bổ sung trang 107 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây AB, CD bất kì...
Bài 41 trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 41 trang 106 sách bài tập toán 9. Cho tam giác cân ABC có đáy BC và...
Bài 40 trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 40 trang 106 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC. Các đường phân giác trong của...
Bài 39 trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 39 trang 106 sách bài tập toán 9. Trên đường tròn tâm O có một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó...