Giải bài 4 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(\sqrt {11} \). Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI.

Đề bài

Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(\sqrt {11} \). Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm của tam giác đều BCD. Khi đó, \(AO \bot \left( {BCD} \right)\)

Qua C kẻ đường thẳng song song với BI cắt BD tại F. Khi đó, CF//BI nên BI//(ACF)

Suy ra: \(d\left( {AC,BI} \right) = d\left( {BI,\left( {ACF} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {ACF} \right)} \right)\)

Ta có: \(BI \bot CD,CF//BI \) \( \Rightarrow CF \bot CD\)

Qua O kẻ đường thẳng song song với CD cắt CF tại E. Ta có: \(OE//CD \) \( \Rightarrow OE\; \bot CF\)

Vì \(OE\; \bot CF,CF \bot AO\left( {do\;AO \bot \left( {BCD} \right)} \right) \) \( \Rightarrow CF \bot \left( {AOE} \right)\)

Trong (AOE), kẻ \(OH \bot AE\left( {H \in AC} \right) \) \( \Rightarrow OH \bot \left( {ACF} \right) \) \( \Rightarrow d\left( {O,\left( {ACF} \right)} \right) = OH\)

Chứng minh được tứ giác OICE là hình chữ nhật. Suy ra \(OE = CI = \frac{{CD}}{2} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\)

Tam giác BCD đều, BI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác nên \(BI = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt {33} }}{2} \) \( \Rightarrow BO = \frac{2}{3}BI = \frac{{\sqrt {33} }}{3}\)

Vì \(AO \bot \left( {BCD} \right) \) \( \Rightarrow AO \bot BO,AO \bot OE\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại O có: \(AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \frac{{\sqrt {66} }}{3}\)

Tam giác AOE vuông tại O, đường cao OH có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{9}{{66}} + \frac{4}{{11}} = \frac{1}{2}\)

Do đó, \(OH = \sqrt 2 \)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 5 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp tam giác S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, \(AC = a\sqrt 2 \), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC).
Giải bài 6 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SA = a\sqrt 3 \), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có \(AB = a,AD = 3a,BC = a\).
Giải bài 7 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Biết \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {57} }}{{12}}\). Tính \({V_{ABC.A'B'C'}}\).
Giải bài 8 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Một hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước 2cm, 3cm và 6cm. Tính thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
Giải bài 9 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ có đường cao \(HH' = 2a\). Cho biết \(AB = 2a,A'B' = a\). Gọi \({B_1},{C_1}\) lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính thể tích của:
Giải bài 10 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Tính thể tích của một cái sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng 80cm, đáy nhỏ có cạnh bằng 40cm và cạnh bên bằng 80cm.
Giải bài 3 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B’C’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’.
Giải bài 2 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của SC.
Giải bài 1 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).