Giải chuyên đề học tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chuyên đề 2 Chuyên đề học tập Toán 10 chân..

Giải bài 4 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo


Chứng minh rằng bất đẳng thức \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} \le \frac{{n + 1}}{2}\) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Đề bài

Chứng minh rằng bất đẳng thức \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} \le \frac{{n + 1}}{2}\) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1 + 1}}{2}\)

Như vậy bất đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} \le \frac{{k + 1}}{2}\)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 2}}{2}\)

Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\) ta có

\(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 1}}{2} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 1}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{{k + 2}}{2}\)

Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).


Bình chọn:
4 trên 5 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store