Giải bài 3.35 trang 73 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình 3.58. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB // CD hay AM // DN.

Suy ra \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{D_2}}\)(hai góc so le trong)

Mà \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (vì DM là tia phân giác \(\widehat {A{\rm{D}}C}\)).

Do đó \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{D_1}}\) nên tam giác ADM cân tại A.

Chứng minh tương tự, ta có tam giác BCN cân tại C.

Vì \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}};\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (vì DM, BN lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {A{\rm{D}}C};\widehat {ABC}\)).

Mà \(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {ABC}\) (vì tứ giác ABCD là hình bình hành).

Do đó \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\)

Tam giác ADM cân tại A, tam giác BCN cân tại C.

Mà \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_2}}\) nên \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{N_2}}\) suy ra \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{N_1}}\)

Tứ giác BMDN có \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_2}};\widehat {{M_2}} = \widehat {{N_1}}\) nên tứ giác BMDN là hình bình hành.

Suy ra DM // BN hay HE // GF.

Tam giác ADM cân tại A có AH là đường phân giác nên AH cũng là đường cao.

Suy ra \(\widehat {AHE} = {90^o}\) nên \(\widehat {EHG} = {90^o}\)

Mà HE // GF suy ra \(\widehat {AGF} = {90^o}\) (hai góc đồng vị).

Tương tự, ta cũng chứng minh được: \(\widehat {HEF} = {90^o};\widehat {GF{\rm{E}}} = {90^o}\)

Tứ giác EFGH có \(\widehat {EHG} = {90^o};\widehat {AGF} = {90^o};\widehat {{\rm{HEF}}} = {90^o}\)

Do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật.