Giải bài 3.30 trang 40 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

a) Chứng minh rằng (sqrt {3 + sqrt 5 } .sqrt {3 - sqrt 5 } = 2) và (sqrt {3 + sqrt 5 } + sqrt {3 - sqrt 5 } = sqrt {10} ). b) Rút gọn các biểu thức sau: (A = {left( {sqrt {3 + sqrt 5 } } right)^3} + {left( {sqrt {3 - sqrt 5 } } right)^3}); (B = {left( {sqrt {3 + sqrt 5 } } right)^5} + {left( {sqrt {3 - sqrt 5 } } right)^5}).

Đề bài

a) Chứng minh rằng \(\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 } = 2\) và \(\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt {10} \).

b) Rút gọn các biểu thức sau:

\(A = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^3} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^3}\);

\(B = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^5} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^5}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có \(\sqrt A .\sqrt B = \sqrt {AB} \).

+ \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) với mọi biểu thức A.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

+) \(\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 } \)

\( = \sqrt {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} \\ = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \\ = \sqrt 4 = 2\)

+) \({\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} \)

\(= 3 + \sqrt 5 + 2\sqrt {3 + \sqrt 5 } \sqrt {3 - \sqrt 5 } + 3 - \sqrt 5 \\ = 6 + 2.2 = 10\)

Do đó, \(\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt {10} \).

b) Đặt \(a = \sqrt {3 + \sqrt 5 } ,b = \sqrt {3 - \sqrt 5 } \).

Theo a ta có: \(ab = 2,a + b = \sqrt {10} \)

Ta có:

\({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) \\= {\left( {\sqrt {10} } \right)^3} - 3.2\sqrt {10} \\= 10\sqrt {10} - 6\sqrt {10} \\ = 4\sqrt {10} \)

Vậy \(A = 4\sqrt {10} \)

\(B = {a^5} + {b^5} \\= \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^3} + {b^3}} \right) - {a^2}{b^3} - {a^3}{b^2} \\ = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right]A - {\left( {ab} \right)^2}\left( {a + b} \right)\\ = \left[ {{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2} - 2.2} \right].4\sqrt {10} - {2^2}.\sqrt {10} \\= 20\sqrt {10} \)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 3.31 trang 40 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn ({x^2} + {y^2} = 1). Tính giá trị biểu thức (A = x - y + sqrt {1 - {x^2}} - sqrt {1 - {y^2}} ).
Giải bài 3.32 trang 40 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
a) Khai triển ({left( {2 - sqrt 3 } right)^2}) và ({left( {2sqrt 3 - 3} right)^2}) thành những biểu thức không còn bình phương. b) Sử dụng kết quả câu a, rút gọn các biểu thức sau: (A = sqrt {4 - 2sqrt 3 - sqrt {21 - 12sqrt 3 } } ); (B = sqrt {2 + sqrt 3 + sqrt {4 - 2sqrt 3 - sqrt {21 - 12sqrt 3 } } } ).
Giải bài 3.29 trang 40 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
So sánh (sqrt {sqrt {89 + 24sqrt 5 } } ) và (sqrt {1 + sqrt {122} } ).
Giải bài 3.28 trang 40 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Thực hiện phép tính: a) (sqrt {12 - sqrt {23} } .sqrt {12 + sqrt {23} } ); b) ({left( {sqrt {9 - sqrt {17} } + sqrt {9 + sqrt {17} } } right)^2}).
Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 39, 40 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Mọi số thực đều có căn bậc hai. B. Mọi số thực âm không có căn bậc ba. C. Mọi số thực đều có căn bậc hai số học. D. Các số thực dương có hai căn bậc hai đối nhau.