Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài 2: Dãy số

Bài 3.11 trang 118 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.11 trang 118 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số (un) xác định bởi...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2{\rm{ voi }} n\ge {\rm{1}}{\rm{.}}\end{array} \right.\)

LG a

Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\) 

Phương pháp giải:

- Tính \(u_2,u_3,...,u_{n+1}\)

- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính \(u_{n+1}\) theo \(n\).

- Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = {u_1} + 1\\{u_3} = {u_2} + 4\\{u_4} = {u_3} + 7\\{u_5} = {u_4} + 10\\...\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2\end{array}\)

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:

\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + {u_{n + 1}}\) \( = 5 + \left( {{u_1} + 1} \right) + \left( {{u_2} + 4} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3n - 2} \right)\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = 5 + 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)

Ta chứng minh \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\) bằng quy nạp.

Đặt \({S_n} = 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)

+) Với \(n = 1\) thì \({S_1} = 1\) đúng.

+) Giả sử \({S_k} = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2}\), ta chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\).

Thật vậy,

\({S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 2\) \( = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2} + 3k + 1\) \( = \dfrac{{3{k^2} - k + 6k + 2}}{2}\) \( = \dfrac{{3{k^2} + 5k + 2}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\)

Do đó ta được \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\)

Vậy \({u_{n + 1}} = 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\) hay \({u_n} = 5 + \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}\)

LG b

Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng

Phương pháp giải:

- Tính \(u_2,u_3,...,u_{n+1}\)

- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính \(u_{n+1}\) theo \(n\).

- Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2} - 5 - \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}\) \( = \dfrac{{3{n^2} - n - 3{n^2} + 3n + 4n - 4}}{2}\) \( = \dfrac{{6n - 4}}{2} > 0,\forall n\).

Vậy dãy số đã cho tăng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua